La formule fascinante

[invite91724928]

Salut tout le monde,
j'ai décidé de faire des recherches sur une formule mathématique qui m'a toujours fasciné, la formule dont je parle est la suivante :
Pour cela, je vous propose de suivre la démarche suivante :

1) trouver trois méthodes pour calculer les formules , et .
2) Généraliser ces trois méthode sur la formule générale

Considérez ça comme un défi si vous voulez, je vais poster une méthode de ma part dans les messages qui suivent, et je vous laisse l'honneur de poster les deux méthodes restantes.

Mes remerciements à toute les participations.
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[Snowey]

Bonsoir
Je connais une "propriété" qui concerne justement ces sommes, mais je ne suis vraiment pas sur que celà soit ce que vous avez en tête ^^
Je la mets quand même: on a,,
.
Mais je ne sais pas si elle est très connue, ni si elle est très efficace:
je sais que l(on peut notamment l'utiliser assez facilement pour trouver , mais cette somme peut aussi être obtenue en écrivant etc ...

[invite91724928]

annulééééé

[invite91724928]

Salut Snowey,
La formule que tu as utilisé pour calculer ce type des sommes est :

Pour bien monter son utilité prenons le cas ou p=2, cela devient :







En déduire :

la même procédure est suivie pour calculer le sommes tels que p=3 et p=4.
Maintenant appliquons cette méthode dans le cas général, on trouve :





ce qu'on remarque ici est que pour calculer la somme générale il faudrait déjà disposer des sommes précédentes , autrement il faut calculer les sommes pour que p prend les valeurs , chose qui parait impossible et c'est parmi les limites de cette méthode.
il reste deux méthodes, merci encore pour le partage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[MMu]

Un autre point de vue ... , où est un polynôme de degré :
Ensuite les coefficients se déduisent de ...

[invite91724928]

J'ai étudié votre point de vue MMu, je reprends l’écriture de votre polynôme :


donc il va falloir déterminer tous les coefficients du polynôme pour trouver l'expression de .
D'autre part on peut déduire juste un seul coefficient qui est , Voyons :




.............................. ...........................
.............................. ...........................



je connais pas qui va oser résoudre ce système pour trouver les expressions des coefficients. Et merci pour votre point de vu

[invite91724928]

Merci encore pour toute contribution

[ericcc]

La formule que tu décris s'appelle la Formule de Faulhaber : http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Faulhaber