Une matrice réelle est semblable à sa transposée.

[invite2b14cd41]

Bonsoir, j'essaie de montrer le résultat du titre sans utiliser des théorèmes hors du programme de prépa (donc sans utiliser Jordan ni Frobenius).
En fait , d'après un résultat classique , il suffit de voir que est semblable à (transposée de M ) dans . Si M est diagonalisable sur C le résultat est trivial. J'essaie d'utiliser la densité des matrices diagonalisables dans . Le problème évident c'est que le fait de disposer d'une suite d'éléments de est d'une suite (M_n) de (ensembles des diagonalisables de M_n(C) ) convergeant vers M n'assure pas du tout que P_n converge (encore moins vers un élément de GL_n(C) qui est ouvert... )
Cependant, pourrais-je utiliser le fait que tM et M sont de même rang ? (ce qui équivaut en fait à l'existence de 2 matrices inversibles et de GL_n(C) - ou même de GL_n(R) - telles que )
Ca fait presque 2 bonnes heures que je penche sur ce problème à vrai dire.
Merci par avance.
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[invite2b14cd41]

C'est vraiment impossible?