Norme matricielle subordonnée

[YNWA1892]

Bonsoir,

j'aimerais savoir s'il y a un moyen d'interpréter élégamment ce qu'est une norme subordonnée sur les matrices: II A II = sup {II AX II / II X II <1}. En fait j'ai un cours de systèmes dynamiques dans lequel on l'appelle norme spectrale. J'aimerais bien voir le lien entre les valeurs propres d'une matrice et sa norme.
En gros, en passant par les endomorphismes associés aux matrices, je pense qu'on peut interpréter la norme subordonnée de A comme le rayon de la plus petite sphère qui contient l'image de la sphère unité par l'endomorphisme u associé à A. Mais comment y voir les valeurs propres de A? On a bien un truc du genre la norme spectrale, c'est la racine carrée de la plus grande valeur propre de la matrice symétrique semi-définie positive A*A (où A* est la conjuguée de la transposée de A). Mais bon, j'ai du mal à voir d'où vient l'égalité entre les deux...

Quelqu'un a des idées? ^^'
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[YNWA1892]

Là j'essaye de comprendre ce qu'est A*A par rapport à A, et je précise que ma matrice A est à coefficients complexes.

[Weensie]

Une idée, peut-être, consiste à passer la norme au carré et à la voir comme un produit scalaire. On a ||Ax||=(<Ax,Ax>)^1/2=(<x,A*Ax>)^1/2. En passant au "matriciel" ca donne tX(A barre)AX. Si tes A sont sous forme diagonale...

[YNWA1892]

Ah ouaip, merci, ça a l'air d'être une bonne idée ça! Il va falloir que je finisse de la méditer, mais là... je vais me coucher ^^
Merci bien!

[A voir en vidéo sur Futura]

[YNWA1892]

Weensie, avec ton indication et quelques calculs j'ai pu trouver l'égalité entre la norme d'une matrice et sa plus grande valeur propre. Mais j'aurais voulu savoir si on peut voir ça de manière plus géométrique.
Par exemple, si mon endomorphisme est diagonalisable, je sens bien que la sphère unité va être déformée suivant les directions des vecteurs propres, maintenant montrer explicitement quelle est la tête de ma sphère unité après avoir subi l'endomorphisme, c'est plus coton! ^^
En fait, j'aimerais plutôt comprendre pleinement ce qu'est un endomorphisme trigonalisable. Sa matrice est semblable à une matrice diagonale supérieure avec les valeurs propres sur la diagonale, ça d'accord, mais sinon...
Un endomorphisme diagonalisable possède des sous espaces invariants qui sont en somme directe. Mais un endomorphisme trigonalisable, il laisse quoi d'invariant?

[Weensie]

Salut à toi!

Je ne sais pas si les deux parties de ton message sont corrélées, je vais donc y répondre de manière disjointe, pardonne m'en par avance.

1) Je ne peux pas te dire pour la tête de la sphère unité après application de l'endomorphisme, personnellement je n'aimerais pas qu'on applique un autre endomorphisme que l'identité à la mienne, parce que sinon ça fait mal.
C'est pas plus coton, c'est juste que ça dépend du spectre de ton endo, mais ca peut avoir des gueules bien différentes! Bon, ok, j'ai pas bien répondu.

2) Une condition de triangularité est la suivante: Si tu prends (e1,...,eN) une base de ton espace la matrice d'un endomorphisme dans cette base est triangulaire supérieure si et seulement si les sous-espaces Ak=Vect(e1,...e,k) sont laissés stables ou stables par l'endomorphisme en question. Ak est stable par u si pour tout k u(e_k) est dans Ak. ce qui donne une matrice triangulaire (les coefficients d'une colonne k ( qui représente elle, u(e_k))en dessous de la diagonale correspondent aux contributions des vecteurs (e_k+1,...e_N), comme tu veux que u(e_k) reste dans A_k, il faut bien qu'ils soient nuls!)