Geométrie non commutative, une introduction semi vulgarisée.

[invite76543456789]

Bonjour,
Suite a une discussion dans un fil en physique sur la mecanique quantique, j'ouvre un fil pour tenter d'expliquer un peu, les idées de base de la Géométrie non commutative telle qu'elle s'est developpée, et si possible de donner des liens avec la physique et son developpement (je poste quand meme en maths, car c'est avant tout des maths). J'espere que ca vous interessera!

Les idées qui ont amené au developpement de la géométrie non commutative cadrent parfaitement avec l'ensemble des idées qui a globalement chamboulé toute la géométrie au cours du XXe siecle, c'est l'idée de passer d'une notion tres ensembliste d'espace, où les points occupent la majorité des preoccupations, a une notion plus allusive, où ce qui est important ce n'est plus tellement les points de l'espace sous jascent, mais les fonctions que l'on peut definir dessus (le parallèle avec la mecanique quantique est d'ailleurs patent). Cette transfiguration s'est opéré dans de nombreux contextes en mathématiques, et les precursseurs sont sans doute Leray et Cartan en geométrie ananlytique complexe, avec le developpement de l'algèbre homologique, mais cette idée se retrouve en géométrie algébrque (c'est surtout là en fait qu'elle a illustré sa puissance en premier lieu) en geométrie analytique complexe, en geométrie non commutative, mais aussi par exemple en theorie des distributions (ou la notion de valeur en un point disparait, et les points sont remplacé par les fonctions tests).

Regardons ce qui se passe du point de vue de la topologie et de la géométrie differentielle. Une variété differentielle c'est un espace topologique, qui localement est homéomorphe a R^n, et muni d'un atlas dont les fonctions de transitions sont lisses. A quoi sert cette lissité? Moralement elle sert a une seule chose, elle sert a pouvoir dire si une fonction sur la variété est lisse ou non. Et une idée naturelle est de se dire, plutot que se donner cette atlas, peut on se donner directement des ensembles de fonctions (ici pour intriduire proprement la chose il me faudrait parler de faisceau, qui lie tous les points de vue, mais je vais pas le faire parce qu'on a pas strictement besoin pour le geo diff et la GNC), et decreter, voila les fonctions lisses.

Ainsi une variété differentielle X, arrive équipée avec un ensemble particulier, son ensemble de fonctions lisses (à valeur dans C), que je noterai simplement C(X). L'idée fondamentale qui fait basculer la comprehension, c'est la question suivante "Que peut on comprendre de X en regardant uniquement C(X)?". Et le petit miracle, c'est qu'en fait les reponses a ces questions etaient deja connues avant meme de poser la question en ces termes.

Mais avant de voir quelles sont ses reponses, examinons un tout petit peu la tete de C(X), c'est un C-espace vectoriel, on sait aussi multiplier des fonctions, c'est donc une algèbre (commutative), on a aussi une involution, la conjugaison complexe, et une topologie (que l'on peut penser comme la topologie de la norme sup, meme si c'est pas tout a fait ca) pour laquelle elle est complete. ON a donc une algèbre de banach commutative munie d'une involution (dans la suite je triche un peu, par certains moments ce que j'enonce n'est vrai que pour l'algèbre des fonctions continues).

Comment donc retrouver l'espace sous jascent a C(X)? La reponse est simple, a un point x, on fait correspondre l'application de C(X) dans C, qui a une fonction f associe f(x), que l'on note en , c'est un carractère de C(X), on peut mettre une topologie sur l'ensemble de ces carractères (la topologie faible-*). Je note Car(C(X)) l'espace des carractères de C(X). Et le théorème de Gelfand assure alors que non seulement X est homéomorphe a l'espace des carractères de C(X), X=Car(C(X)), mais aussi que si on se donne n'importe quelle algèbre de banach verifiant les conditions vue plus haut, C, alors C est isomorphe a l'algèbre des fonctions sur l'espace de ces carractères de C, autrement dit C=C(Car(C).

Autrement dit connaitre X et connaitre C(X) est exactement la meme chose, via les carractères! C'est pas tout, les fonctions entre espace X et Y, donnent bien sur un mophisme d'algèbre entre C(Y) et C(X) (dans ce sens), et toutes les morphismes proviennent de tels fonctions! Autrement dit on a perdu aucune information de nature topologique en passant de X à C(X)!!

Pour l'instant je n'ai parlé que de géométrie non commutative, mais le passage au non commutatif est a present béant. Qu'est ce qui se passe maintenant quand je me donne au lieu de l'espace X, n'importe quel algèbre verifiant les conditions vue plus haut, mais sans s'imposer la comutativité. SI l'algèbre est commutative, alors on a un espace X bien defini qui lui est associé, et on peut voir cette algèbre comme l'algèbre des fonctions sur X.

Avant de décrire comment retrouver certaines notions de base de géométrie sur ces algèbres non commutatives (ce que je ferais dans un prochain message, j'ai deja été tres long), je voudrais mentionner rapidement les interactions de ce point de vue avec la mecanique quantique.

Quand on etudiant l'espace des phases d'un systeme mecanique, traditionnelement on lui attachait une variété differentielle, l'espace des phases du systeme. Par exemple, en etudiant le pendule simple, on regarde l'espace des theta, theta', et on etudie des champ de vecteurs la dessus (le champ d/dt theta=theta' et d/dt theta'=-sin(theta)) et le mouvement est donné par les intégrales de ce champ sur la variété, au temps t, theta' est donné par la première fonction coordonnée, qui a un point d'une courbe intégrale associe sa projection sur le second axe. Autrement dit x et p sont donné par des fonctions sur l'espace des phases, une variété differentielle. Autrement dit ce dont des elements de C(X) (ou X est l'espace des phases), une algbère commutative.

Qu'a remarqué Heisenberg que si l'on regarde les "fonctions" p et x sur l'espace des phases d'un systeme tout petit, alors on a pas px=xp, autrement dit, x et p ne peuvent pas etre element d'un C(X) ou X serait un espace des phases classiques, il font donc partie d'un C(X) mais pour C(X) une algèbre non commutative, autrement dit un espace non commutatif.

Voila pour une introduction, j'introduirai les concepts a proprement de parler de GNC dans mon prochain post (enfin sauf si celui la vous deplait). L'idée va etre de traduire les operations geométriques sur X, en des operations uniquement sur C(X), et a partir de la de pouvoir donner une definition de ces opérations geométrique qui marche pour une algèbre C quelconque.
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[invite06b993d0]

annulé (question débile)

[invitef17c7c8d]

bon je me lance, je donne quelques commentaires

...c'est l'idée de passer d'une notion tres ensembliste d'espace, où les points occupent la majorité des preoccupations, a une notion plus allusive, où ce qui est important ce n'est plus tellement les points de l'espace sous jascent, mais les fonctions que l'on peut definir dessus (le parallèle avec la mecanique quantique est d'ailleurs patent).

Cette transfiguration s'est opéré dans de nombreux contextes en mathématiques, et les precursseurs sont sans doute Leray et Cartan en geométrie ananlytique complexe, avec le developpement de l'algèbre homologique, mais cette idée se retrouve en géométrie algébrque (c'est surtout là en fait qu'elle a illustré sa puissance en premier lieu) en geométrie analytique complexe, en geométrie non commutative, mais aussi par exemple en theorie des distributions (ou la notion de valeur en un point disparait, et les points sont remplacé par les fonctions tests).

Tu commences par parler d'une "révolution" : Le passage de la notion d'ensemble vers la notion de fonctions sur cet espace.
Peut-on parler ici de structure?

Regardons ce qui se passe du point de vue de la topologie et de la géométrie differentielle. Une variété differentielle c'est un espace topologique, qui localement est homéomorphe a R^n, et muni d'un atlas dont les fonctions de transitions sont lisses. A quoi sert cette lissité? Moralement elle sert a une seule chose, elle sert a pouvoir dire si une fonction sur la variété est lisse ou non. Et une idée naturelle est de se dire, plutot que se donner cette atlas, peut on se donner directement des ensembles de fonctions (ici pour intriduire proprement la chose il me faudrait parler de faisceau, qui lie tous les points de vue, mais je vais pas le faire parce qu'on a pas strictement besoin pour le geo diff et la GNC), et decreter, voila les fonctions lisses.

Je ne comprends pas le passage d'atlas où l'on passe d'une page à l'autre par des fonctions lisses à un ensemble de fonctions lisses sans atlas...

Ainsi une variété differentielle X, arrive équipée avec un ensemble particulier, son ensemble de fonctions lisses (à valeur dans C), que je noterai simplement C(X). L'idée fondamentale qui fait basculer la comprehension, c'est la question suivante "Que peut on comprendre de X en regardant uniquement C(X)?". Et le petit miracle, c'est qu'en fait les reponses a ces questions etaient deja connues avant meme de poser la question en ces termes.

Tu parles ici d'une bascule, d'un miracle. Donc cet ensemble de fonctions lisses doit posséder une propriété remarquable.
Mais je ne vois pas trop laquelle

Mais avant de voir quelles sont ses reponses, examinons un tout petit peu la tete de C(X), c'est un C-espace vectoriel, on sait aussi multiplier des fonctions, c'est donc une algèbre (commutative), on a aussi une involution, la conjugaison complexe, et une topologie (que l'on peut penser comme la topologie de la norme sup, meme si c'est pas tout a fait ca) pour laquelle elle est complete. ON a donc une algèbre de banach commutative munie d'une involution (dans la suite je triche un peu, par certains moments ce que j'enonce n'est vrai que pour l'algèbre des fonctions continues).

Tu définies ici ces fonctions lisses comme une algèbre de Banach. Bon OK.

Comment donc retrouver l'espace sous jascent a C(X)? La reponse est simple, a un point x, on fait correspondre l'application de C(X) dans C, qui a une fonction f associe f(x), que l'on note en , c'est un carractère de C(X), on peut mettre une topologie sur l'ensemble de ces carractères (la topologie faible-*). Je note Car(C(X)) l'espace des carractères de C(X). Et le théorème de Gelfand assure alors que non seulement X est homéomorphe a l'espace des carractères de C(X), X=Car(C(X)), mais aussi que si on se donne n'importe quelle algèbre de banach verifiant les conditions vue plus haut, C, alors C est isomorphe a l'algèbre des fonctions sur l'espace de ces carractères de C, autrement dit C=C(Car(C).

Le caractère semble être le lien entre l'espace assembliste X et l'algèbre de Banach C.
Le hic c'est que je ne sais pas trop ce qu'est un caractère...

Autrement dit connaitre X et connaitre C(X) est exactement la meme chose, via les carractères! C'est pas tout, les fonctions entre espace X et Y, donnent bien sur un mophisme d'algèbre entre C(Y) et C(X) (dans ce sens), et toutes les morphismes proviennent de tels fonctions! Autrement dit on a perdu aucune information de nature topologique en passant de X à C(X)!!

Si on prend 2 espaces et les applications qui font passer de l'un à l'autre, c'est la même chose dans les deux cas.




Tu supprimes la commutativité.

Quand on etudiant l'espace des phases d'un systeme mecanique, traditionnelement on lui attachait une variété differentielle, l'espace des phases du systeme. Par exemple, en etudiant le pendule simple, on regarde l'espace des theta, theta', et on etudie des champ de vecteurs la dessus (le champ d/dt theta=theta' et d/dt theta'=-sin(theta)) et le mouvement est donné par les intégrales de ce champ sur la variété, au temps t, theta' est donné par la première fonction coordonnée, qui a un point d'une courbe intégrale associe sa projection sur le second axe. Autrement dit x et p sont donné par des fonctions sur l'espace des phases, une variété differentielle. Autrement dit ce dont des elements de C(X) (ou X est l'espace des phases), une algbère commutative.

Tu donnes un exemple (commutatif) : A l'espace des phases (x,p) donnée par un ensemble de points correspond une fonction représentée sans doute par une ellipse.

Qu'a remarqué Heisenberg que si l'on regarde les "fonctions" p et x sur l'espace des phases d'un systeme tout petit, alors on a pas px=xp, autrement dit, x et p ne peuvent pas etre element d'un C(X) ou X serait un espace des phases classiques, il font donc partie d'un C(X) mais pour C(X) une algèbre non commutative, autrement dit un espace non commutatif.

Je ne comprend pas ce passage.

[invite76543456789]

bon je me lance, je donne quelques commentaires


Tu commences par parler d'une "révolution" : Le passage de la notion d'ensemble vers la notion de fonctions sur cet espace.
Peut-on parler ici de structure?

Heu je ne sais pas exactement ce que tu veux dire par là. Et ce n'est pas la notion d'ensemble qui a disparu (enfin rien n'a disparu stricto sensu) c'est juste que dans un cadre "géométrique" (donc on parle déjà d'espaces ayant une riche structure) le point de vue a, changé d'orientation si je puis dire, on a compris que une meilleur façon d’appréhender un espace géométrique ça n’était pas du tout par la donnée ensembliste en lui même, mais par ce qui "vit dessus", les fonctions dessus par exemple, et que l'on pouvait très facilement reconstruire l'espace sous jacent a partir des fonctions définies dessus. Ce point de vue s'est imposé a peu prés partout depuis la seconde moitié du XXème siècle.

Je ne comprends pas le passage d'atlas où l'on passe d'une page à l'autre par des fonctions lisses à un ensemble de fonctions lisses sans atlas...

Ce que je voulais dire par là, c'est que l'atlas n'est qu'un artéfact technique, le but de son existence est pouvoir parler de fonctions lisses sur la variété, son utilité est juste technique. Et en fait oui on peut complètement s'en passer, et prendre un point de vue complètement "fonctionnel" pour décrire une variété différentielle, mais en fait ca n'est pas très important pour la suite.

Tu parles ici d'une bascule, d'un miracle. Donc cet ensemble de fonctions lisses doit posséder une propriété remarquable.
Mais je ne vois pas trop laquelle

En fait, il y aurait beaucoup a dire la dessus. Il est assez difficile de savoir quel est le "bon" ensemble de fonctions a considérer. J'ai un peu triché dans mon message précédent, car en fait l'espace qu'il faut considerer (d'un point de vue topologique) dans ce que j'ai dit n'est pas l'espace des fonctions lisses, mais celui des fonctions continues. Mais si l'on veut étudier non pas la topologie d'une variété, mais sa géométrie, alors ce qu'il nous faut c'est bien l'espace des fonctions lisses (en fait ca n'a été tranché que récemment) et même un petit peu plus (c'est la notion de triplet spectral). Ces questions sont très intéressantes, mais elles sont d'ordre techniques et j'ai préféré sacrifier un peu de technique.

Par contre si l'on compare à ce qui se passe en géométrie algébrique par exemple, ou en géométrie analytique complexe, alors oui il est absolument "miraculeux" que l'algèbre des fonctions lisses contienne toute l'information! C'est un fait vraiment remarquable, et c'est pile poil a l'opposé de ce qui se passe en géométrie algébrique, ou l'espace des fonctions contient véritablement très peu d'information (et c'est pour cela que le recours a la notion de faisceau est indispensable dans ce cas).

Tu définies ici ces fonctions lisses comme une algèbre de Banach. Bon OK.

Je le definis pas comme ca, l'algèbre que je regarde c'est l’algèbre des fonctions lisses, (c'est a dire infiniment dérivables) sur une variété, il se trouve que c'est une algèbre de Banach.

Le caractère semble être le lien entre l'espace assembliste X et l'algèbre de Banach C.
Le hic c'est que je ne sais pas trop ce qu'est un caractère...

UN caractère c'est juste un morphisme d'algèbre non trivial dans C. Quand on a une variété X, et son algèbre de fonctions C(X), il est facile de construire de tels caractères, tu te donnes un point x0 de X, et tu regarde l'application qui à f associe f(x0), maintenant sous des hypothèses faibles sur X, alors TOUS les caractères de C(X) sont de cette forme. Autrement dit il y a une correspondance entre les caractères de C(X) et les points de X (et en fait cette correspondance "passe" à la topologie).

Si on prend 2 espaces et les applications qui font passer de l'un à l'autre, c'est la même chose dans les deux cas.
Pour l'instant je n'ai parlé que de géométrie non commutative, mais le passage au non commutatif est a present béant. Qu'est ce qui se passe maintenant quand je me donne au lieu de l'espace X, n'importe quel algèbre verifiant les conditions vue plus haut, mais sans s'imposer la comutativité. SI l'algèbre est commutative, alors on a un espace X bien defini qui lui est associé, et on peut voir cette algèbre comme l'algèbre des fonctions sur X.

Tu supprimes la commutativité.

Ce que je disais ici, c'est que si l'on prend un algèbre A de Banach (avec quelques conditions techniques), alors si elle est commutative, on sait parfaitement construire un espace X, tel que A soit l'algèbre des fonctions de cet espace, donc A=C(X) (pour cet X).
Quand l'algèbre est commutative il n'existe pas bien sur de tel espace X, mais l'idée est quand même de considérer A comme "une algèbre de fonctions" mais sur un espace non commutatif. (j'expliquerai dans un prochain post, ce qui joue le role des points de A etc...)

Tu donnes un exemple (commutatif) : A l'espace des phases (x,p) donnée par un ensemble de points correspond une fonction représentée sans doute par une ellipse.

Je comprends pas ce que tu veux dire.

Je ne comprend pas ce passage.

Ici je dis juste qu'Heisenberg a remarque que si on regarde X l'espace des phases d'un système quantique (un electron disons) alors les fonctions sur cet espace, par exemple x et p, devraient vérifier px=xp, or ca n'est pas le cas expérimentalement. C'est donc que l'algèbre de fonctions décrivant l'espace des phases de ce système quantique est une algèbre non commutative.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite58a61433]

Bonjour,

Voilà une très bonne initiative . Bon alors je ne connais pas grand chose à la GNC. En gros je savais (de manière plus formelle) ce que tu dis dans ton premier post. Je vais donc en profiter pour poser quelques questions si ça ne te dérange pas. Quand on dit que l'algèbre des fonctions code les caractéristiques de l'espace sur lequel elles sont définies. OK. Qu'est ce que l'on entend par là exactement ? Quelles propriétés de l'espace sont contenues dans l'algèbre. Naivement je me serais plutôt attaché au formes différentielles sur l'espace (au moins pour la cohomologie de de Rham, qui code des propriétés topologiques, alors certes dans ce cas les fonctions sont des 0-formes mais bon il faut quand même introduire de nouvelles structures qui sorte de l'algèbre des fonctions à proprement parler).
Autres questions plus précises. Peut-on définir le même genre de choses que pour des variétés (topologiques, différentielles). Une (des) homologie\cohomologie, un calcul différentiel, une notion qui ressemble à la notion de connection ? Bref les outils du calcul différentiel classique... Ma question serait plutôt qu'est-ce que l'on peut faire qui ressemble au cas commutatif ?
Bon courage

[invite76543456789]

Salut!
Je comptais parler de ça par la suite, mais bin j'en profite pour repondre (grossièrement, je suis un peu pressé là) à tes questions. J'espere y revenir plus en detail apres.

On peut tout a fait définir l'ananlogue de tous les resultats naturels de géométrie differentiel. Le fibré cotangent est facile a definir, c'est exactement l'ananlogue de ce qui se fait en geometrie algébrique (ou c'est le representant local du foncteur des derivations de l'anneau structural de la variété, et on recolle tout ca, en GNC, y a meme pas besoin de recoller, de manière elementaire les 1-formes ce sera juste juste le noyau du produit ).
La topologie est sans doute le plus simple des choses a retrouver puisqu'elle est parfaitement "codée" comme tu dis, dans l'algèbre des fonctions continues complexes (voir mon petit laius plus haut) pour la géométrie malheureusement il ne suffit pas de se donner l'anneau des fonctions lisses, il faut se donner un triplet spectral (je detaillerai plus tard).
La cohomologie (de de Rahm, mais malheureusement pas la cohomologie entière a ma conaissance) la aussi se generalise, c'est ce qu'on appelle la cohomologie cyclique, qui est une variation de la cohomologie de Hoschild.
Pour la notion de fibré vectoriel la aussi c'est facile (et c'etait deja connu depuis longtemps en geométrie algébrique), il est facile de prouver que l'e module des sections globales d'un fibré sur un espace metrique compact est un module projectif sur l'anneau des fonctions (continue de cet espace) de cet il n'est pas difficile non plus de prouver qu'un tel module projectif est issu d'un tel fibré. Du coup un fibré sur ta variété non commutative c'est juste un module projectif sur l'anneau des sections.
La encore comme les faisceaux sont mous dans le cas commutatif, toute la difficulté technique de la géométrie algébrique est "levée", et on peut considerer uniquement les sections globales.

[invitef17c7c8d]

J'ai un peu honte de participer à cette discussion avec toi compte tenu de mon niveau exécrable en maths.

Cependant, il faut dire que j'apprécie à la fois le ton de tes messages (doux et pédagogique) et ton savoir mathématique. Tu sembles jongler avec tous ces concepts avec une facilité déconcertante:

Heu je ne sais pas exactement ce que tu veux dire par là. Et ce n'est pas la notion d'ensemble qui a disparu (enfin rien n'a disparu stricto sensu) c'est juste que dans un cadre "géométrique" (donc on parle déjà d'espaces ayant une riche structure) le point de vue a, changé d'orientation si je puis dire, on a compris que une meilleur façon d’appréhender un espace géométrique ça n’était pas du tout par la donnée ensembliste en lui même, mais par ce qui "vit dessus", les fonctions dessus par exemple, et que l'on pouvait très facilement reconstruire l'espace sous jacent a partir des fonctions définies dessus. Ce point de vue s'est imposé a peu prés partout depuis la seconde moitié du XXème siècle.

D'accord.
Une question un peu hors sujet peut être.
Supposons un ensemble constitué de valeurs propres.
Peut-on à partir de ces valeurs propres créer un espace?
Et si oui, pourrait on envisager de rechercher des fonctions sur la manière dont sont liées ces valeurs propres?

En fait, il y aurait beaucoup a dire la dessus. Il est assez difficile de savoir quel est le "bon" ensemble de fonctions a considérer. J'ai un peu triché dans mon message précédent, car en fait l'espace qu'il faut considerer (d'un point de vue topologique) dans ce que j'ai dit n'est pas l'espace des fonctions lisses, mais celui des fonctions continues. Mais si l'on veut étudier non pas la topologie d'une variété, mais sa géométrie, alors ce qu'il nous faut c'est bien l'espace des fonctions lisses (en fait ca n'a été tranché que récemment) et même un petit peu plus (c'est la notion de triplet spectral). Ces questions sont très intéressantes, mais elles sont d'ordre techniques et j'ai préféré sacrifier un peu de technique.

Donc on peut créer des espaces de fonctions. Un exemple, pour fixer les idées, serait par exemple l'espace de Fourier?

Ce que je disais ici, c'est que si l'on prend un algèbre A de Banach (avec quelques conditions techniques), alors si elle est commutative, on sait parfaitement construire un espace X, tel que A soit l'algèbre des fonctions de cet espace, donc A=C(X) (pour cet X).
Quand l'algèbre est commutative il n'existe pas bien sur de tel espace X, mais l'idée est quand même de considérer A comme "une algèbre de fonctions" mais sur un espace non commutatif. (j'expliquerai dans un prochain post, ce qui joue le role des points de A etc...)

Question purement affabulatrice:
Ne pourrait-on pas dire que que la GNC permet de traiter le discontinue, le discret comme s'il s'agissait du continue?
Si l'espace est non commutatif, alors on peut définir une algèbre de fonctions même si ces dernières ne forment pas une algèbre de Banach?

[invite76543456789]

Bonjour,

J'ai un peu honte de participer à cette discussion avec toi compte tenu de mon niveau exécrable en maths.

Cependant, il faut dire que j'apprécie à la fois le ton de tes messages (doux et pédagogique) et ton savoir mathématique. Tu sembles jongler avec tous ces concepts avec une facilité déconcertante:

Ce que je presente là n'est pas tres difficile et c'est connu de beaucoup de matheux.

D'accord.
Une question un peu hors sujet peut être.
Supposons un ensemble constitué de valeurs propres.
Peut-on à partir de ces valeurs propres créer un espace?
Et si oui, pourrait on envisager de rechercher des fonctions sur la manière dont sont liées ces valeurs propres?

En fait créer une algèbre de fonctions à partir d'un espace n'est pas compliqué, on sait le faire depuis longtemps, la GNC va pile poil dans l'autre sens, elle crée un espace à partir des fonctions (enfin plus precisement elles nous explique comment "faire comme si" il y avait un espace meme quand il n'y en a pas).
Mais pour repondre a votre question, un espace discret n'est pas tres interssant geometriquement et son algèbre de fonction c'est juste un produit de copies de C dans votre cas.

Par contre il est interessant de voir comment un espace non commutatif peut parfois mieux apprehender une situation geométrique qui est pourtant deja traité dans le cas commutatif (je pense a l'espace des feuilles d'un feuilletage).

Donc on peut créer des espaces de fonctions. Un exemple, pour fixer les idées, serait par exemple l'espace de Fourier?

La encore on ne crée pas vraiment d'espace, on interprete une algèbre (toujours de Banach) comme l'algèbre de fonctions sur un espace.

Pour l'espace de Fourier (j'imagine que vous pensez a L²(S1)) ca n'est pas une algèbre. Ca ne veut pas dire toutefois que L² n'a pas son role a jouer, en fait le role de L² est crucial.

Question purement affabulatrice:
Ne pourrait-on pas dire que que la GNC permet de traiter le discontinue, le discret comme s'il s'agissait du continue?
Si l'espace est non commutatif, alors on peut définir une algèbre de fonctions même si ces dernières ne forment pas une algèbre de Banach?

Pas vraiment non, en fait ce qui traite le cas discret comme le cas continue c'est essentiellement la géométrie algébrique.

[doul11]

Bonsoir,

C'est très intéressant ! vivement la suite ...

[invitea1ed4570]

Bonjour MissPacMan,

Tu appelles C(X) l'algèbre des fonctions lisses sur X. Je pense que tu voulais plutôt parler des fonctions continues sur X à valeur dans les nombres complexes.
En effet, l'algèbre des fonctions lisses sur X n'est pas une algèbre de Banach, c'est une algèbre de Frêchet.
Gelfand démontre que toute algèbre stellaire commutative (avec unité) est une algèbre de fonctions continues sur une espace compact.
Le morphisme de Gelfand n'est pas un isomorphisme pour les algèbres de Banach commutatives !

Le point de départ de la géométrie non-commutative c'est la traduction, dans des algèbres d'opérateurs de l'espace de Hilbert (qui est un C-espace vectoriel de dimension infinie possédant les propriétés géométriques d'un espace euclidien mais dans lequel les points géométriques classiques sont remplacés par des fonctions), des théories fondamentales de la géométrie "classique".

Il y a, au moins, trois niveaux d'étude pour les espaces géométriques classiques:

La théorie de la mesure (mesurabilité) (algèbre associée: L^{infini}(X), fonctions mesurables essentiellement bornées sur X)
La topologie (continuité)(algèbre associée C(X), fonctions continues sur X)
La géométrie différentielle et riemanienne (dérivabilité, lissitude)(algèbre associée C^{infini}(X), fonctions lisses sur X)

Les théorèmes fondamentaux correspondants:

Théorème de von Neumann: Toute algèbre de von Neumann commutative est isomorphe en tant qu'algèbre de von Neumann à une algèbre L^{infini}(X)
Théorème de Gelfand : Toute C* algèbre commutative est isomorphe à une algèbre C(X) (ce que tu décrivais plus haut)
Théorème de Connes (bien plus récent et compliqué) : Si un triplet spectral vérifie certains axiomes (que je ne préciserait pas, pardon) on prouve qu'il s'agit du triplet spectral d'une variété riemannienne.

Bien cordialement.

[invite76543456789]

Bonjour,

Bonjour MissPacMan,

Tu appelles C(X) l'algèbre des fonctions lisses sur X. Je pense que tu voulais plutôt parler des fonctions continues sur X à valeur dans les nombres complexes.
En effet, l'algèbre des fonctions lisses sur X n'est pas une algèbre de Banach, c'est une algèbre de Frêchet.
Gelfand démontre que toute algèbre stellaire commutative (avec unité) est une algèbre de fonctions continues sur une espace compact.
Le morphisme de Gelfand n'est pas un isomorphisme pour les algèbres de Banach commutatives !

En fait y a pas mal d’imprécisions dans mon laius, c'est essentiellement du au fait que je voulais a priori presenter le formalisme des triplets spectraux (donc l'algèbre en question c'est bien l'algèbre des fonctions lisses) mais je voulais donner une raison historique au fait de voir un espace comme l'algèbre des fonctions dessus (et donc parler du theoreme de Gelfand qui concerne lui les fonctions continues, qui me semblait bien faire comprendre ce qui se passe). Donc j'ai "fait comme si", bon chuis d'accord c'est un peu "misleading" (mais j'ai quand meme attiré l'attention sur le fait que je trichais un peu).
Et pour le coup, oui bien sur le theoreme de Gel'fand concerne les algèbres stellaires (la aussi me semble y avoir fait allusion a l'aide d'un laconique "une algèbre de Banach verifiant les conditions vues plus haut").

Apres je suis tres loin d'etre un specialiste de GNC, donc il est pas impossible que je fasse aussi des "vraies" erreurs dues à cela, .

Cordialement.

[invite76543456789]

Annulé(redite).

[invitea1ed4570]

Par ailleurs, il faut partir avec en tête l'idée d'espace topologique pas forcément de variété, en effet, une algèbre de von Neumann est en particulier une C* algèbre, ainsi, puisque les algèbres de von Neumann commutatives sont des algèbres de fonctions mesurables sur un espace X et puisqu'elles sont aussi des C* algèbres commutatives, étant donnée une algèbre de von neumann commutative M, il existe un espace topologique localement compact Y (qui est différent de X) tel que M=C(Y) et Y n'est, en général, pas une variété.

Petits addenda aux concepts que tu introduis:
Une C* algèbre (ou algèbre stellaire) est une algèbre de Banach munie d'une involution (qui,moralement, généralise la conjugaison des nombres complexes) et dont les éléments vérifient une relation qui elle aussi généralise un fait classique concernant les complexes: le module de z x (conjugué de z) est égal au carré du module de z.

Une algèbre de von Neumann M est sous algèbre involutive de l'algèbre des opérateurs (application linéaires) bornés d'un espace de Hilbert qui est égale à son bicommutant (i.e. l'ensemble des opérateurs qui commutent aux opérateurs commutant à M est M)

Un triplet spectral consiste en la donnée d'un espace de Hilbert H, d'une sous algèbre de B(H) "de type fréchet", et d'un opérateur non-borné sur H.

[invitea1ed4570]

Bonjour,

En fait y a pas mal d’imprécisions dans mon laius, c'est essentiellement du au fait que je voulais a priori presenter le formalisme des triplets spectraux (donc l'algèbre en question c'est bien l'algèbre des fonctions lisses) mais je voulais donner une raison historique au fait de voir un espace comme l'algèbre des fonctions dessus (et donc parler du theoreme de Gelfand qui concerne lui les fonctions continues, qui me semblait bien faire comprendre ce qui se passe). Donc j'ai "fait comme si", bon chuis d'accord c'est un peu "misleading" (mais j'ai quand meme attiré l'attention sur le fait que je trichais un peu).
Et pour le coup, oui bien sur le theoreme de Gel'fand concerne les algèbres stellaires (la aussi me semble y avoir fait allusion a l'aide d'un laconique "une algèbre de Banach verifiant les conditions vues plus haut").

Apres je suis tres loin d'etre un specialiste de GNC, donc il est pas impossible que je fasse aussi des "vraies" erreurs dues à cela, .

Cordialement.

J'avais bien saisi ton idée, je voulais juste reprendre certains détails (tout en ayant bien compris que tu assumais certains approximations). Je ne voudrais en rien passer pour un père fouettard...

Edit: j'ai écris mon précédent message avant de lire ta réponse...

Edit 2: je rajouterai à mon précédent message qu'un triplet spectral ce n'est pas que la donnée énoncée plus haut, c'est aussi une série d'axiomes que doivent vérifier ces objets...

[invite76543456789]

Du coup je peux ptetre en profiter pour te poser une question (qui est le depart de mon interet pour le sujet).
(Désolé c'est un peu HS).
Est ce qu'on possède un analogue non archimedien au theoreme de Gel'fand? Est ce qu'il existe, par exemple, une bonne notion d'algèbre stellairesur C_p, et une classification des ces algèbres la?
(On peut en parler par MP si tu veux).
PS: Aucun souci, je ne t'ai pas pris pour un "Pere Fouetard", au contraire, les complements et les precisions (en particulier les pointages d'erreurs) sont les bienvenues!

[invitef17c7c8d]

On n'est plus dans le semi-vulgarisé mais dans l'infinitésimal-vulgarisé...

[invite06b993d0]

Il y a, au moins, trois niveaux d'étude pour les espaces géométriques classiques:

La théorie de la mesure (mesurabilité) (algèbre associée: L^{infini}(X), fonctions mesurables essentiellement bornées sur X)
La topologie (continuité)(algèbre associée C(X), fonctions continues sur X)
La géométrie différentielle et riemanienne (dérivabilité, lissitude)(algèbre associée C^{infini}(X), fonctions lisses sur X)

et dans les deux premiers cas, on sait quelles sont les algèbres de fonctions sur X qui définissent une mesure (resp. une topologie)? je vois bien des conditions nécessaires (par exemple l'ensemble des fonctions mesurables doit contenir les indicatrices des ensembles mesurables) mais au-delà...

[invitea1ed4570]

Pour la théorie de la mesure, c'est en effet engendré par les indicatrices de boréliens (d'un point de vue opératoriel, cela correspond aux projecteurs orthogonaux).
Pour la topologie, c'est le théoreme de Stone-Weirstrass: i.e. c'est engendré par une algèbre de fonctions qui sépare les points (les polynômes par exemple si X=[0,1])
Par ailleurs, si tu veux dire, engendrer la topologie (i.e. décrire les ouverts), il y a le Lemme d'Urysohn qui étant donné un ouvert U de X te fournit des fonctions valant 1 sur U et 0 dans le complémentaire d'un arbitrairement petit voisinage ouvert de U)

[invitea1ed4570]

Et pour compléter encore, la notion d'ouvert se traduit opératoriellement par la notion d'idéal bilatère fermés de C(X) (à un ouvert on associe l'ensemble des fonctions continues sur X nulles sur cet ouvert).

[invitea1ed4570]

Hum... je me relie... Dans mes deux derniers messages, il faut remplacer ouvert par fermé (dans le lemme d'Urysohn (c'est pratique pour séparer les points...) puis dans la caractérisation de la topologie)

Désolé pour la suite de posts, c'est pas pratique cette règle d'édition limitée à cinq minutes après avoir posté un message )

[invitef17c7c8d]

Pour la théorie de la mesure, c'est en effet engendré par les indicatrices de boréliens (d'un point de vue opératoriel, cela correspond aux projecteurs orthogonaux).

La théorie de la mesure, n'est ce pas plutôt l'existence d'une mesure de probabilité rho sur un espace qui reste invariant par opération d'un semi-groupe f?

Pour la topologie, c'est le théoreme de Stone-Weirstrass: i.e. c'est engendré par une algèbre de fonctions qui sépare les points (les polynômes par exemple si X=[0,1])

Est ce que cette séparation dont tu parles à avoir avec la notion d'ergodicité ou de mélange?

[albanxiii]

La théorie de la mesure, n'est ce pas plutôt l'existence d'une mesure de probabilité rho sur un espace qui reste invariant par opération d'un semi-groupe f?

Non !

Est ce que cette séparation dont tu parles à avoir avec la notion d'ergodicité ou de mélange?

Non !

[invitea1ed4570]

Juste une précision, les indicatrices de boréliens sont des fonctions d'approximation pour les fonctions de L^{infini}(X), pour ce qui est de la mesure "concrète", le pendant spectral d'une mesure positive est une forme linéaire positive sur l'algèbre de von Neumann (ou la C* algèbre) que tu considères.
Le théorème qui entérine cette "traduction" est le théorème de représentation de Riez qui identifie mesures boréliennes et formes linéaires sur l'algèbre C(X) (qui, rappelons le, est une C* algèbre commutative).

[invitea1ed4570]

Si tu es intéressé par ce type de problèmes et que tu as accès à une bibliothèque je te conseille le livre de Pedersen: Analysis NOW qui est limpide sur ce sujet.

Par ailleurs; puisque tu sembles intéressé par la théorie ergodique, sache qu'il y a actuellement une recherche plus qu'active en théorie ergodique par l'intermédiaire des algèbres de von Neumann. On trouve des traces de ces considérations dans les articles fondateurs de Murray et von Neumann, aussi, un petit peu, dans le livre de Dixmier sur les algèbres d'opérateurs.... mais c'est du pipi de chat par rapport à ce qui se fait aujourd'hui (je blague, hein, évidemment !). Le type qui a tout relancé s'appelle Sorin Popa... tu peux aussi aller voir sur la page de Stefaan Vaes, on y trouve de bons résumés, exposés etc sur le sujet !

[invitef17c7c8d]

La théorie ergodique m'interesse pour ses applications en théorie du chaos.

Dans un espace (plutot sympatique, dira t-on, disons métrique muni d'une tribu).

La mesure mu correspond alors à une distribution.
La mesure mu est invariante.
Du coup, si j'imagine la mesure comme une fonction (ou une loi) de distribution sur l'espace, alors cette distribution reste invariante lors d'une transformation T.

Pou avoir de l'alea dans ce système dynamique (X, T, B, Mu), il faut introduire du mélange.
E(AB)=E(A)E(B) (l'espérance d'un produit est le produit des espérances (notion d'indépendance))

La mesure mu implique l'indépendance asymptotique.

L'ergodocité est beaucoup plus faible que le mélange.
Mais je ne comprends pas le fait que mu(A) = 0 ou mu(A)=1
mu(A)=1 signifie que d'ou qu'on parte, on va visiter tout l'espace.

D'autre part je ne vois pas le lien avec les algèbres de Von Neumann...

[invitea1ed4570]

D'autre part je ne vois pas le lien avec les algèbres de Von Neumann...

Tu considères un espace mesuré X sur lequel agit un groupe G (de manière ergodique par exemple), tu construis l'algèbre de von Neumann dîtes produit croisé de L^{infini}(X) par G et tu as ton lien. C'est évidemment une manière grossière de présenter les choses, mais ça reste le point de départ, la suite est beaucoup plus subtile...

voici un lien qui te donneras plus de détails:

https://perswww.kuleuven.be/~u001876...Madrid2011.pdf