Algèbre - "diagonalisabilité" et endomorphisme - prépa ECS

[tom0606]

Bonjour à tous,

J'ai besoin de votre aide car je n'arrive pas à comprendre une partie de la solution d'un exercice sur la diagonalisation d'endomorphisme. Cet exercice est extrait du Précis de mathématiques, Algèbre 2è année pour prépa ECS rédigé par Degrave aux éditions Bréal.
Par chance, j'ai pu trouver dans GoogleBook un scan de la page en question avec l'exercice et cette solution que je ne comprends pas.

Voici le lien : http://books.google.fr/books?id=p6Qd...ts%20à&f=false


C'est la solution de la question 2)b) que je ne comprends pas, lorsqu'il est demandé de montrer que u est diagonalisable. J'ai l'impression que la réponse est redondante, pas vous ? En tout cas, je ne comprends pas pourquoi il est montré en deux cas que u est diagonalisable.

Si vous pouviez m'éclairer, je vous en serez vraiment reconnaissant.

tom0606
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[TooBad]

C'est effectivement redondant. Il suffit de dire que E est somme directe des sous espaces propres de u pour conclure que u est diagonalisable. a mon avis si ils ont fait cette distinction, c'est que dans le cas ou 0,1,2 sont toutes trois valeurs propres de u, alors chacun des espaces est effectivement non réduit a 0, mais si jamais 0 n'est pas valeur propre de u( ou 1, ou 2 peu importe) alors l'espace propre associe est réduit a 0. Mais lendomorphiqme reste diagonalisable d'après la 1.

[God's Breath]

Bonjour,

La question 1 établit une décomposition de l'espace en somme directe : où chacun des sous-espaces est de la forme .

Dans la question 2b, on utilise le critère de diagonalisabilité : un endomorphisme est diagonalisable si, et seulement si, l'espace est somme directe de tous les sous-espaces propres.

On sent bien que la décomposition de la question 1 va dans ce sens, et on a envie de dire que l'on a obtenu la décomposition voulue ; le problème est que c'est faux.

Tout ce que l'on peut dire, c'est que le sous-espace est :
– ou bien réduit à si le nombre correspondant n'est pas valeur propre de ;
– ou bien réduit un sous-espace propre de si le nombre correspondant est valeur propre.

On peut donc être amené à supprimer de la somme directe des termes réduits à pour obtenir une somme directe de sous-espaces propres, mais il n'est pas certain que l'on ait tous les sous-espaces propres : c'est la question 2a sur les valeurs propres qui assure que les valeurs propres sont parmi les , donc que les sous-espaces propres de sont ceux des qui ne sont pas réduits à .
On assure ainsi que l'on obtient bien une décomposition de l'espace en somme directe de tous les sous-espaces propres de .

La discussion de deux cas n'induit donc pas une redondance, mais correspond bien à la situation réelle : dans un cas, la somme directe des sous-espaces propres contient trois termes, dans l'autre cas, elle contient moins de trois termes.

[God's Breath]

l'espace propre associe est réduit a 0.

Formulation curieuse : un espace propre, par définition, ne peut pas être réduit à 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[tom0606]

Merci à tous pour vos réponses !

Je te suis très reconnaissant God's Breath, j'ai vraiment compris grâce à toi !
Bonne journée !

[tom0606]

Simplement, je me permets de poser une dernière question pour que ce soit définitivement bien clair :
Supposons que parmi les racines du polynôme annulateur de u, seule une des 3 racines soit valeur propre de u, c'est-à-dire seul un sous-espace Ei est non réduit au sous-espace vectoriel nul.
Dans ce cas, comment puis-je affirmer que l'espace vectoriel E se décompose en "somme" directe des sous-espaces propres de u, étant donné que dans ce cas, il n'y a qu'un seul sous-espace propre à considérer ?
Plus clairement, comment comprendre que u soit diagonalisable si un seul des Ei est non réduit au sous-espace vectoriel nul, c'est-à-dire si E est égal à un seul des Ei (puisque les autres sont dans ce cas-là réduits au sous-espace vectoriel nul) ?
Faut-il raisonner sur les dimensions en affirmant que dimE=dimEi avec Ei sous-espace propre de u pour montrer que u est diagonalisable ?

Merci pour votre aide

[tom0606]

PS : je précise que je ne sais raisonner ni avec les homothéties vectorielles ni avec les polynômes scindés et autre "idéal" annulateur pour comprendre la résolution de problèmes axés sur la diagonalisation d'endomorphisme (je glisse cette info parce que j'ai vu que ces notions pouvaient être utilisées pour m'aider à comprendre la solution, mais je ne les ai pas étudiées).

[God's Breath]

Supposons que parmi les racines du polynôme annulateur de u, seule une des 3 racines soit valeur propre de u, c'est-à-dire seul un sous-espace Ei est non réduit au sous-espace vectoriel nul.
Dans ce cas, comment puis-je affirmer que l'espace vectoriel E se décompose en "somme" directe des sous-espaces propres de u, étant donné que dans ce cas, il n'y a qu'un seul sous-espace propre à considérer ?

Dans ce cas, on est confronté au problème d'une somme qui se réduit à un seul terme : l'espace E lui-même est le seul sous-epace propre et est sa propre décomposition en somme directe des sous-espaces propres.
Dans le langage courant, le terme "somme" ne peut être utilisé que pour plusieurs termes, mais en mathématiques, un terme unique constitue une somme.

Dans un autre domaine, si, par exemple, X est une variable aléatoire qui prend un nombre fini de valeurs x_i, avec la loi de probabilité : P(X=x_i)=p_i, l'espérance E(X) est donnée par la somme des p_ix_i.
La formule reste valable dans le cas où la variable aléatoire est constante et ne prend qu'une seule valeur x₁ avec la probabilité p₁=1 ; son espérance est une somme réduite à un seul terme : E(x)=p₁x₁=x₁.

[tom0606]

D'accord, dans ce cas, si j'affirme comme dans ton/votre message "l'espace E lui-même est le seul sous-espace propre et est sa propre décomposition en somme directe des sous-espaces propres", c'est donc juste. Je comprends, super !
A ton/votre avis, y a-t-il une façon de répondre moins ambiguë, sans parler de somme ?
Le raisonnement sur les dimensions est-il faux ? Incomplet ? Hors de propos ?

Question bête : comme le polynôme annulateur a au moins une racine, alors u a au moins une valeur propre, laquelle se trouve parmi au moins une des racines de P, n'est-ce pas ? C'est pourquoi on n'aura jamais E égal au sous-espace vectoriel nul, car il y aura toujours un des trois sous-espace Ei non réduit au sous-espace vectoriel nul, c'est-à-dire on aura toujours au moins un sous-espace propre ? Donc E "égal à au moins" Ei ?

J'espère que ce n'est pas trop le bazar avec toutes ces questions...

tom0606

[God's Breath]

A ton/votre avis, y a-t-il une façon de répondre moins ambiguë, sans parler de somme ?

On peut certainement rédiger une solution sans parler de somme, en revenant à des bases de vecteurs propres, mais c'est vraisemblablement plus lourd et, avec un peu d'habitude, on parle très facilement de sommes sans se soucier du nombre de termes...

Le raisonnement sur les dimensions est-il faux ? Incomplet ? Hors de propos ?

Le raisonnement sur les dimensions fonctionne, c'est une autre présentation d'un raisonnement sur des bases de vecteurs propres : les dimensions permettent de compter le nombre de vecteurs propres obtenus et de voir si on en a suffisamment, mais sans parler explicitement d'une base de vecteurs propres.

Question bête : comme le polynôme annulateur a au moins une racine, alors u a au moins une valeur propre, laquelle se trouve parmi au moins une des racines de P, n'est-ce pas ?

Les seules valeurs propres de u sont des racines du polynôme annulateur, mais il peut se faire que u n'ait aucune valeur propre.
Dans ce cas très particulier, les trois noyaux considérés sont réduits à {0} donc, par somme directe, on a également E={0} qui est bien, conformément à l'énoncé, un espace vectoriel de dimension finie.
Si E={0}, le seul endomorphisme de E est u:0->0 qui est bien diagonalisable.
Sinon, si E n'est pas réduit à {0}, au moins un des trois noyaux de la somme directe doit être différent de {0}, et il y a effectivement au moins une valeur propre de u.

[tom0606]

(Les phrases suivantes en italiques citent God's Breath)
Merci pour ces réponses God's Breath , j'ai toutefois quelques hésitations qui persistent :

"On peut certainement rédiger une solution sans parler de somme, en revenant à des bases de vecteurs propres, mais c'est vraisemblablement plus lourd et, avec un peu d'habitude, on parle très facilement de sommes sans se soucier du nombre de termes..."

Vu la façon dont est fait l'exercice, comment est-il possible de se ramener à des bases de vecteurs propres ? Comment avoir des bases avec ce qui nous est donné ?


"Le raisonnement sur les dimensions fonctionne, c'est une autre présentation d'un raisonnement sur des bases de vecteurs propres : les dimensions permettent de compter le nombre de vecteurs propres obtenus et de voir si on en a suffisamment, mais sans parler explicitement d'une base de vecteurs propres."

Encore une mention des vecteurs propres, pour lesquels je ne vois aucun moyen de les convoquer...
Dans le cours, on me dit que u diagonalisable est équivalent à dimE=sigma de 1 à p des dim(V(lambda,i)) avec V(lambda,i) le sous-espace propre de u associé à la valeur propre lambda et (lambda, i) (i variant de 1 à p) est une famille de p valeurs propres distinctes de u.
Dans le cas où E ne vaut qu'un seul sous-espace propre, ie E=Ei, puis-je affirmer que dimE=dimEi et donc que dimE s'écrit comme une "somme" de la dimension d'un seul sous-espace propre ? Ainsi, d'après cette proposition du cours, si dimE=dimEi, alors u diagonalisable ?

"Si E={0}, le seul endomorphisme de E est u:0->0 qui est bien diagonalisable."

Comment prouves-tu que l'endomorphisme u:0->0 est diagonalisable ?

[God's Breath]

Comment avoir des bases avec ce qui nous est donné ?

Un vecteur appartenant à une base de E_i est non nul (par définition d'une base) et est vecteur propre de u (par définition de E_i).
En réunissant une base de chacun des E_i, on obtient une base de la somme directe E qui est constituée de vecteurs propres de E

[I]Dans le cours, on me dit que u diagonalisable est équivalent à dimE=sigma de 1 à p des dim(V(lambda,i)) avec V(lambda,i) le sous-espace propre de u associé à la valeur propre lambda et (lambda, i) (i variant de 1 à p) est une famille de p valeurs propres distinctes de u.

Encore une fois, c'est le même problème sous un autre accoutrement : s'il n'y a qu'une seule valeur propre, qu'un seule espace propre, avec sa seule dimension, la somme des dim(V(lambda,i)) ne contient qu'un terme. Curieusement, cela n'avait pas l'air de te gêner jusqu'à ce que tu sois obligé d'y réfléchir.
Dans ce cas, l'endomorphisme est effectivement diagonalisable si, et seulement si, E et le seul espace propre E_i ont la même dimension : il faudra construire une base de vecteurs propres en allant chercher ces vecteurs propres dans une base de E_i, et il faudra trouver dim(E) vecteurs, alors qu'on de dispose que de dim(E_i) vecteurs dans une base de E_i.

Comment prouves-tu que l'endomorphisme u:0->0 est diagonalisable ?

Le seul vecteur 0 de E={0} est vecteur propre de upour la valeur propre 1 : E={0} est l'unique espace propre de u, donc u est diagonalisable.

Mais, dans la pratique, on ne diagonalise jamais dans E={0}.

Pour toutes ces questions, je te conseille d'en parler de vive voix avec ton professeur.
Il me semble que ta question sur la "redondance" du corrigé cachait effectivement une légère incompréhension du raisonnement présenté dans le livre, mais que, maintenant, tu pinailles sur des détails qui ne peuvent qu'embrouiller une situation que tu maîtrises bien ; je qualifierais volontiers ta démarche actuelle de « recherche de poils sur les oeufs ».

[tom0606]

Merci pour votre réponse.

Je comprends le raisonnement sur les bases, mais mon problème est que je ne sais pas comment construire les bases en question avec ce qu'on a dans l'exercice. Quand vous précisez : "En réunissant une base de chacun des Ei, on obtient une base de la somme directe E qui est constituée de vecteurs propres de E", je suis bien sûr d'accord, mais je ne vois quelles sont ces bases exactement, quelles sont leur forme concrète au regard de l'exercice.
Même problème lorsque vous ajoutez : "il faudra construire une base de vecteurs propres en allant chercher ces vecteurs propres dans une base de Ei, et il faudra trouver dim(E) vecteurs, alors qu'on de dispose que de dim(Ei) vecteurs dans une base de Ei." Je connais cette méthode, mais je ne sais pas à quelles bases "concrètes" des Ei appliquer cette méthode. Du coup, quelles sont les bases des Ei ?

Enfin, quand vous précisez que : "Le seul vecteur 0 de E={0} est vecteur propre de upour la valeur propre 1: : E={0} est l'unique espace propre de u".
Je ne comprends pas : le vecteur 0 est le vecteur nul ; or, le vecteur nul ne peut être vecteur propre par définition, même si un sous-espace propre contient le vecteur nul (en plus des vecteurs propres). Dire que "E={0} est l'unique espace propre de u", revient à affirmer qu'un espace propre est réduit au sous-espace vectoriel nul, ce qui est contraire à la définition d'un sous-espace propre, non ?

[tom0606]

Personne ?

[tom0606]

C'est surtout cette histoire de vecteur nul égal à un vecteur propre qui me semble assez curieux...
De même pour cette histoire de sous-espace propre égal {0}...
Par définition, ces affirmations sont fausses.

God's Breath, pourriez-vous m'expliquer pourquoi vous avez écrit cela ?

Peut-être est-ce une erreur d'interprétation de ma part, mais je ne crois pas.