forme quadratique

[ebolamath]

Bonjour,
petit soucie pour calculer le Noyau de q(x,y,z,t) = x²+2y²+2xy+2yz+2yt
la décomposition en carré me donne
(x+y)²+(y+z+t)²-(z+t)²
je peux donc resoudre le systeme:
x+y=0
y+z+t=0
z+t=0
ca ok.
Peut on également resoudre M(q)*u=0 avec M(q) la matrice associé a la forme quadratique et u=(x,y,z,t)
car dans le cas présent on trouve le meme resultat. est ce un hasard ?
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[Amanuensis]

N'est pas par définition même du noyau d'une forme quadratique que ce soit le sous espace composé des vecteurs tel que M(q)u=0 ?

[ebolamath]

et bien je me demande si c'est pas le cone, car dans cet exemple on obtient la meme chose , mais dans un autre exercice ca ne marche pas.
par exemple avec q(xyzt)=xy+2xz+xt+2yt+4zt si on fait M(q)u=0 on trouve dim N(q) = 2 or c'est 1 . . .

[Amanuensis]

et bien je me demande si c'est pas le cone, car dans cet exemple on obtient la meme chose , mais dans un autre exercice ca ne marche pas.
par exemple avec q(xyzt)=xy+2xz+xt+2yt+4zt si on fait M(q)u=0 on trouve dim N(q) = 2 or c'est 1 . . .

Quelle définition de "noyau d'une forme quadratique" appliquez-vous ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Et mon logiciel de calcul formel trouve 1 comme dimension du noyau de la matrice ([0,1,2,1],[1,0,0,2],[2,0,0,4],[1,2,4,0]) (le polynôme caractéristique est x^4-26*x^2-20*x).

Mais je me suis peut-être trompé quelque part...

[invite76543456789]

Salut!

Bonjour,
petit soucie pour calculer le Noyau de q(x,y,z,t) = x²+2y²+2xy+2yz+2yt
la décomposition en carré me donne
(x+y)²+(y+z+t)²-(z+t)²
je peux donc resoudre le systeme:
x+y=0
y+z+t=0
z+t=0
ca ok.
Peut on également resoudre M(q)*u=0 avec M(q) la matrice associé a la forme quadratique et u=(x,y,z,t)
car dans le cas présent on trouve le meme resultat. est ce un hasard ?

Ca m'etonnerait que tu trouves la meme chose quand tu resoud Mq*u=0 et q(u)=0 avec cette forme quadratique. Il doit y avoir une erreur dans tes calculs.

[ebolamath]

vect{001-1}, pas d'erreur à priori j'ai eu 18 à mon DM avec cette mauvaise methode que le prof n'a pas du remarquer, et du coup jme suis planté au partiel

[invite76543456789]

Ok, en fait j'ai lu en diagonale, oui ce que tu fais est correct.
Ce que tu recherche quand tu fais
x+y=0
y+z+t=0
z+t=0
C'est l'orthogonal de l'espace tout entier, autrement dit le noyau.
C'est exactement le noyau de la matrice associée à ta forme quadratique.
Tu trouveras toujours le meme resultat si tu procedes comme ca.
Par contre il est faux (mais je ne pense pas que tu crois ca) que l'ensemble des (x,y,z,t) tels que q(x,y,z,t)=0 soit ceux qui verifient
x+y=0
y+z+t=0
z+t=0
Il y en a plus.

[ebolamath]

oui mais alors , dans mon 2eme exemple, ma decomposition en carré me donne :
1/4[(3/2 x +y+2z+2t)²-(1/2x-y-2z+2t)²]-1/2x²
soit apres resolution du systeme
x=0
y=-2z
z=z
t=0
et N(q)=vect (0-210)

alorq que le noyau de ma matrice :
0 1/2 1 1/2
1/2 0 0 1
1 0 0 2
1/2 1 2 0

me donne
x+2t=0
y+2z-t=0

et N(q)=vect {(2 0 -1 -1 ) , ( 0 1 -1 0)}


Oo

.....

[invite76543456789]

Tu fais un erreur dans le noyau, il est de dimension 1.

[369]

en refaisant les calculs avec la matrice, je trouve la même chose qu'avec la décomposition de gauss
pour le système j'ai:
x-2t=0
2y-4z-2t=0
y+2z+t=0

d'ou:

x-2t=0
y+2z+t=0
y+2z-t=0

x=0
y=-2z
z=z
t=0

[Amanuensis]

alorq que le noyau de ma matrice :
0 1/2 1 1/2
1/2 0 0 1
1 0 0 2
1/2 1 2 0

et N(q)=vect {(2 0 -1 -1 ) , ( 0 1 -1 0)}

( 0 1 -1 0) a pour image (-1/2, 0, 0, -1). Pas pour un élément du noyau de la matrice... (Et l'autre c'est pas mieux... Alors que (0,-2, 1, 0) est clairement solution...)

[ebolamath]

en effet merci 369 ca marche O_O tant mieu la methode est bonne donc. me reste plus qu'a apprendre a compter