Théorie des surfaces élastiques

[invitea5f7f2ff]

Bonjour à tous,
Mon TIPE traite des fréquences de vibration d'une vitre en verre dans le cas où les bords de la vitre sont libres.
J'aimerai faire une expérience en envoyant des sons de différentes fréquences sur la vitre et en voyant celle pour la quelle elle vibrera le plus (GBF, Ampli, micros avant et après la vitre etc).
Je voudrai comparer les résultats trouvé à ceux trouvés par calcul. ll me semble que ce genre de calculs a déjà été réalisé par Sophie Germain (mathématicienne française) et qu'ils sont en rapport avec la théorie des surfaces élastiques mais j'avoue que j'en sais pas grand chose!!!
Pouvez-vous m'éclairer à ce sujet?
Merci d'avance
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[Garf]

Il y a beaucoup de choses à dire sur ce sujet, et certains problèmes forment encore des sujets de recherche actifs. Ca ressemble à une bonne idée de TIPE

Déjà, une première remarque : faire attention aux conditions au bord. Ce qui va suivre fonctionne si on considère le bord de la vitre comme étant figé (fixé à un cadre rigide) ; ça peut être adapté au cas des bords libres, mais le cas "bords fixes" semble être plus souvent traité dans la littérature.


Voici quelques pointeurs assez généraux :

* Wikipédia (en) : équation de Helmholtz, son du tambour...

* Un document trouvé lors d'une recherche Google tout ce qu'il y a de plus basique. Le niveau correspond plus à du L3/M1, mais certaines parties me semblent être compréhensibles pour un math spé et pourraient t'aider. Voir en particulier (j'indique les pages du pdf, avec un décalage de 2 pages par rapport à la table des matières) :
-> pages 20 à 22, dérivation des équations d'ondes pour un surface élastique. Dans ton cas, seules les ondes de cisaillement t'intéressent ; un observateur extérieur de voit pas (ou plutôt, n'entend pas) les ondes de pression.
-> toute la deuxième partie, mais en particulier le pages 56 à 65 : les ondes stationnaires.


Une fois que ceci est compris, on peut faire le lien entre les valeurs propres et les fonctions propres du Laplacien d'une part, et les harmoniques et modes de vibration de la surface d'autre part. Plus précisément, les valeurs propres du Laplacien correspondent aux harmoniques, et les fonctions propres du Laplacien correspondent aux modes de vibration. On cherche donc à calculer les valeurs propres du Laplacien. Dans le cas général, on pourrait seulement obtenir des valeurs numériques, mais dans le cas d'une vitre rectangulaire, je suppose que les modes de vibration doivent être suffisamment simples (produit de sinus, voir par exemple ici) pour pouvoir obtenir des formules explicites.

Avec ça (plus quelques données du type module de Young du verre), il me semble que tu as tout ce qu'il faut pour calculer les harmoniques pour une vitre en verre rectangulaire. Bien sûr, cela demande d'assimiler le tout (ce qui peut prendre du temps), mais n'hésite pas à poser des questions, ici ou à tes professeurs. Si tu recherche des sources bibliographiques ou historiques, c'est une autre affaire ; je préfèrerais laisser quelqu'un de plus compétent s'en occuper.


Pour aller plus loin : pas mal de questions se posent si on regarde des surfaces plus compliquées. Par exemple :
* des surfaces différentes peuvent donner le même son (voir le deuxième lien wiki au-dessous, ou sinon) ;
* si l'on regarde seulement les surfaces convexes (avec un bord suffisamment lisse), le son est caractéristique de la surfaces : deux surfaces différentes donneront des sons différents.
* par des méthodes géométriques, on peut montrer par exemple qu'à aire fixée, c'est un disque qui donnera le son le plus grave (voir par exemple ici, avec en bonus des résultats supplémentaires). Les méthodes utilisées sont essentiellement géométriques, et les résultats similaires aux inégalités isopérimétriques.
* récemment, j'ai vu des données (que je n'arrive pas à retrouver, hélas) qui tendent à relier les modes de vibration d'ordre supérieur aux trajectoires périodiques d'une particule voyageant sur le surface (vue comme billard : la particule va tout droit, et rebondit sur les bords)...

[godzylla]

peut etre dans "genie des matériaux"

faite attention à ne pas casser la vitre

[invitea5f7f2ff]

Merci beaucoup pour vos réponses!!!
Garf, ton aide m'est très utile!!! j'essaye d'"assimiler" tout ça (j'avoue que c'est pas encore ça ), j'espère que vous m'autoriserez à vous poser d'autres questions...

[A voir en vidéo sur Futura]