Matrices Atilla

[invite39ac77b7]

Bonjour,
Voilà l'énoncé suivant


Une matrice carré M est dite magique si les sommes des coefficients de M par ligne et par colonne sont constantes. On note s(M) leur valeur commune.

1.Soit U= la matrice Atilla et ={matrices nxn magiques}.

2.Montrez que est le commutant de U, c'est-à-dire l'ensemble des matrices qui commutent avec U. Montrez que est une sous-algèbre de M_n(K) et que s:-->K est un morphisme d'algèbre.

3.En déduire que si M est magique inversible alors est aussi magique.
4.Montrer que est la somme directe du sev des matrices magiques symétriques et du sev des matrices magiques antisymétriques.
5.Pour M∈M_n(K), on note _M l'endomorphisme de Kⁿ
canoniquement associé à M.
Soit: ={(x₁,...,x_n)∈Kⁿ; x₁+...+x_n=0} et K={(x,..,x)∈Kⁿ}
(a) Montrer que: M∈ et K sont stables par _M .
(b) En déduire dim()

J'ai réussi la 2.
J'ai besoin d'aide pour la suite SVP
-----

[Tiky]

Bonsoir,

Tu sais qu'une matrice est magique si et seulement si . En sachant que et M inversible, il est facile
de montrer que .

Pour la question 4), tu peux déjà montrer que est la somme directe des matrices symétriques et antisymétriques.
Si tu as su répondre à cette question, tu sauras répondre à la question 4).