Borne sup et inf-suite bornée.

[sknbernoussi]

Bonjour,
étant donné une suite bornée, on définit pour tout , l'ensemble . On montre que cet ensemble possède une borne inférieure et supérieure et que les deux suites et convergent.
Je voudrai montrer que si ces deux dernières suites convergent vers la même limite L, alors la suite converge.
J'ai pensé à montrer la convergence en partant de la définition, et ce, en utilisant la caractérisation des bornes. Mais cette dernière n'apporte malheureusement pas l'existence d'un rang, mais seulement d'un entier naturel p vérifiant pour tout .
Après j'ai pensé à prouver que la suite est monotone, mais je ne vois pas comment.
Des idées ?
Cordialement.
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[sknbernoussi]

Je pense que je vais montrer que, dans ce cas là, est de Cauchy.
En effet, pour tout , donc . Mais tend vers 0, donc il existe un rang .... etc.
Elle est de Cauchy donc elle converge ( puisque c'est une suite réelle).
Qu'en pensez vous ?

[sknbernoussi]

Supposons que la suite soit convergente, de limite , comment montrer que ??

[Snowey]

Bonjour !

Pourquoi ne peut on pas dire que ?
je ne suis pas très réveillé (oui, à cette heure là !) alors je vais surement trop vite ...

Sinon, pour la réciproque, il me semble que si une suite converge, alors toutes ses suites extraites convergent et ce vers sa limite l.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sknbernoussi]

Oui , on a bien , mais l'égalité ?

[sknbernoussi]

Je pense avoir trouvé quelque chose. En fait, en partant de la définition de la limite en : et donc tend vers 0 d'où l'égalité des limites !

[Snowey]

Ah, mais c'est parce que je n'ai pas compris quel sens de la propriété tu veux montrer:
- le sens direct

Je voudrais montrer que si ces deux dernières suites convergent vers la même limite l, alors la suite (Un) converge.

auquel cas avoir l'inégalité te donne l'égalité en passant à la limite:

-le sens indirect

Supposons que la suite (Un) soit convergente, de limite L , comment montrer que ?

et alors et , en tant que sous suites de convergente vers l , convergent aussi vers l (on a la convergence et la limite en même temps).
Mais je suis aussi d'accord avec ta traduction des quantificateurs.
Je pensais que le simple argument "être une sous suite " suffisait, mais j'ai une doute: on parle d'inf et de sup, qui ne sont pas nécessairement des min et max... donc mon argument ne tiens plus.

[sknbernoussi]

Merci pour ton intérêt !

[sknbernoussi]

Je me demandais s'il est possible de trouver une suite extraite de la suite bornée qui soit convergente de limite . Si oui quelle est la fonction strictement croissante de dans qui l'a définie, sinon comment montrer qu'une telle suite extraite n'existe pas.
Cordialement.

[ketchupi]

J'ai une question qui me taraude.

Si alors on a bien ? Dans ce cas la suite est croissante non ?

[God's Breath]

[Edit] : erreur de fil

[Snowey]

Ahah, je crois juste que c'est une erreur d'interprétation: X correspond juste à l'ensemble des termes de la suite dont l'indice p est supérieur à n. Sinon, il n'y aurait aucune raison qu'il ne soit pas vide, et donc que les bornes sup et inf existent (ou valent 0, mais alors ...)

Sinon, c'est une question intéressante sknbernoussi.
Et je pense que la réponse est oui.
On considère, en suivant tes notations, .
Elle est décroissante par définition () et bornée par M borne de u, donc elle converge et on note sa limite.
J'introduis une nouvelle suite (la dérivée discrète de s à un signe près ...) telle que . Elle est positive, et tend vers 0, mais on ne sait rien de son comportement. Elle peut notamment s'annuler de nombreuses fois.
- Si à partir d'un certain rang: alors on a simplement que s est stationnaire (de valeur sa limite). En particulier, par propriété de la borne supérieure, à n fixé pour lequel s est stationnaire il existe une suite d'éléments de i.e de termes de la suite (u) qui converge vers .

-si n'est pas nulle à partir d'un certain rang: dans ce cas on peut construire une suite extraite qui convient.
On note. Cet ensemble est par hypothèse infini.
Pour chaque élément i de , donc (car on sait que ).
Sachant que est infini et ordonné, on construit strictement croissante où est le n+1 -ème élément de .
Et on construit alors .
On doit juste vérifier que (v) converge bien vers la limite .
Mais comme , (v) est une sous suite de (s): elle converge bien vers la limite voulue

En fait, on aurait peut être pu aller plus vite, ou même faire une autre preuve, mais bon c'est ce qui me vient à l'esprit "comme ça" ^^
Dit simplement, on montre que les termes de (s) sont en fait des termes de (u) dès qu'ils ne sont pas les plus petits (clairement visible sur un dessin).
J'ai aussi essayé de le formaliser pour montrer exactement quelle fonction convenait (en plus, avec celle-ci on a pris une sous suite strictement décroissante).

J'espère que celà répond correctement à la question