Continuité dans le cas des espaces topologiques

[Faror]

Bonjour à tous!

Voila j'étudie en ce moment les espace topologiques et je n'arrive vraiment pas a comprendre le rapport de la notion de continuité dans le cas des espaces topologiques avec la notion de continuité dans les cas des fonctions réelles ou espace métriques.
En effet la définition de continuité dans le cas des espaces topologiques est :

Une application entre espaces topologiques E et E' est continue
si l’image réciproque d’un ouvert (resp. fermé) de E' est un ouvert (resp. fermé) de E.

Mais je ne vois pas en quoi le fait que l'image réciproque d'un ouvert soit ouvert corresponde à la continuité habituelle.

Pourriez vous m'éclairer s'il vous plait?

Merci d'avance
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[thepasboss]

bonsoir,

soit x dans E et f(x)=y dans E'. soit B une boule de rayon r centrée en y. f^-1(B) est un ouvert de E contenant x , donc il existe B' boule de centre x et de rayon e inclu dans f^-1(B). donc...

[Faror]

Désolé mais je ne vois pas .

[thepasboss]

Et bien, ceci implique : pour tout z dans B' ( ie, pour tout z tel que |x-z|<e ), alors f(z) est dans B, (ie, |f(z)-f(x)| < r ).

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Bonjour,

Tu pars de la définition de la continuité d'une application définie de l'espace métrique dans l'espace métrique :



Dans cette définition, , sont muettes : on peut transformer l'énoncé précédent sous une forme qui ne les contient plus. Comme ces variables sont liées, en tant que rayon de boules à la structure métrique de et de , on obtiendra, en les éliminant, une définition de la continuité qui sera encore valable pour les espaces topologiques.
Les variables et sont également muettes, et on les élimine également, mais comme elles représentent des éléments des espaces, on peut les conserver aussi bien dans le cadre des espaces métriques que dans le cadre plus général des espaces topologiques.

On commence par réécrire la définition sous la forme :



Et on élimine de l'implication : en écrivant tout simplement : , d'où l'écriture de la définition de la continuité sous la forme :



La propriété : est la définition d'un voisinage de . Si je note l'ensemble des voisinages de , je peux réécrire la définition de la continuité de :



On a donc la conclusion : est un voisinage de dans le cas où est une boule de centre . Ces boules sont des voisinages particuliers de , et tout voisinage de contient une telle boule; comme , si est un voisinage de , alors est aussi un voisinage de : on peut donc généraliser la propriété à tous les voisinages de et, réciproquement, une propriété vraie pour tous les voisinages de est en particulier vraie pour les boulesde centre .

Ces considérations permettent de réécrire la définition de la continuité de :



Cette formulation ne contient plus de référence à la métrique : c'est la généralisation aux espaces topologiques.

Pour l'instant, elle est écrite sous la forme : pour tout élément de , est continue au point . Si l'on veut éliminer cette référence à un point quelconque, il faut passer des voisinages de aux parties qui sont voisinages de tous leurs points, c'est à dire aux ouverts, et on obtient la définition topologique de la continuité : pour tout ouvert de , est un ouvert de .

Ce qu'il faut comprendre, c'est que la définition initiale, avec les quantificateurs, les boules, ... n'est que l'expression détaillée de la définition générale, dans le cas particulier des espaces métriques, lorsque l'on décrit les ouverts qui interviennent dans cette définition à l'aide de la distance.

[Faror]

Merci beaucoup c'est vraiment très clair God's Breath. Donc si je récapitule, on à ça:


est donc un ouvert, car on a (or )
est donc un ouvert de .

C'est bien cela?