Quelques concepts topologiques et espaces métriques

[Universus]

Salut,

Suite au détournement du fil ouverts et fermés dans un espace métrique, je poursuis mes questions ici afin de ne plus polluer davantage l'autre discussion. Mon problème a eu pour dernière réponse la suivante :

L'adhérence de est le plus petit fermé qui contient .
L'adhérence est donc un fermé par définition : si alors est fermé.
Si est fermé, c'est un fermé qui contient , et on peut difficilement trouver un ensemble plus petit que qui contienne , donc .

Je prends un exemple classique : muni de la distance usuelle, .

La boule ouverte de centre 3 et de rayon 1/2 est réduite au singleton {3}, donc ce singleton est ouvert.
La boule fermée de centre 3 et de rayon 1/2 est réduite au singleton {3}, donc ce singleton est fermé : par conséquent l'adhérence du singleton est le singleton lui-même.
Dans ce cas la boule ouverte est égale à la boule fermée de même centre et de même rayon , et la boule fermée est l'adhérence de la boule ouverte.

La boule ouverte de centre 3 et de rayon 1 est réduite au singleton {3}. L'adhérence de cette boule ouverte est donc le singleton {3} c'est-à-dire la boule ouverte elle-même.
La boule fermée de centre 3 et de rayon 1 est l'ensemble {2,3,4}.
Il est clair que cette boule fermée n'est pas le singleton {3} donc n'est pas l'adhérence de la boule ouverte de même centre et de même rayon.

Déjà, je ne savais pas qu'on définissait l'adhérence de A (A inclu dans E) comme le plus petit ensemble fermé contenant A. J'imagine qu'on entend 'petit' comme l'ensemble ayant le plus petit cardinal (ou un équivalent dans le cas d'ensemble non dénombrable, mais j'avoue que je n'ai que de minces notions sur ce sujet) et fermé est un concept topologique. Je ne sais pas à quel point cette définition concorde avec celle que je connais, c'est-à-dire :



mais bon il ne s'agit pas du problème que je souhaite (pour le moment du moins) aborder ici.

Mon problème venait du fait que j'ai en fait appris ces notions dans le cadre de l'analyse réelle et étant donné les propriétés particulières de doté de la distance , je me suis emmêlé les pinceaux entre ce qui appartient à la topologie et ce qui appartient à ''l'espace métrique'' en tombant dans les espaces métriques plus généraux.

Je comprends maintenant pourquoi dans le cas de l'espace (ultra)métrique de l'autre fil on a alors que la boule fermée de rayon 1 et centrée en est au complet. C'est que ici , mais n'est pas obligé de prendre l'une ou l'autre des valeurs 0 et 1 qui apparaissent dans la définition de la distance de l'espace ultra-métrique étudié ici. Bref, comme tu l'as dit si bien, les boules ouvertes et fermées sont des notions 'métriques' tandis que l'adhérence est une notion topologique et je confondais à quelque part ce qui s'appliquait à quoi. Pour cet éclaircissement (et le même éclaircissement que tentait de faire kadomatsu) je vous remercie tous les deux.

Néanmoins, cela me cause quelque peu un autre problème. Dans la définition d'adhérence que j'ai apprise, il y a explicitement une notion de voisinage que j'ai assimilé (peut-être à tort) à la notion de boule. Enfin, bien que ce soit un voisinage, il y a là-dedans une notion de distance. Dans mon cours d'analyse réelle, on démontrait à partir des définitions d'intérieur, d'adhérence, etc. (toutes des notions dans laquelle la notion de distance est importante) d'autres propriétés de ces concepts (comme l'intérieur de A est le plus grand ouvert contenu dans A, l'adhérence de A est le plus petit fermé contenant A, etc.). Néanmoins, cela va bien dans , mais moins lorsqu'on passe à d'autres espaces métriques. Dans ce cas, les propositions que nous avions démontrées sur les concepts topologiques d'ouverts, d'adhérence, etc. deviennent les définitions de ces concepts afin de séparer ce qui relève de la topologie de ce qui relève de l'étude des espaces métriques (comme la notion de distance il me semble).

Bref, je ne pense pas avoir de questions finalement, je me rend juste compte que toute la façon que j'ai apprise pour penser l'adhérence et tout ces concepts topologiques faisait intervenir la notion de distance alors qu'en fait, il est possible de retrouver ces mêmes concepts en comparant la taille de différents ensembles, voir lequel est le plus petit lequel est le plus grand, voir s'il est inclus ou non dans un autre ensemble, s'il est fermé ou non...

Seuls les notions d'ouvert et de fermé me gênent à présent, puisqu'à part avec des cas intuitifs, sans utiliser la notion de distance à laquelle je m'étais habitué, je ne vois plus comment définir un intérieur (qui est un ensemble de voisinages inclus dans un certain ensemble, mais voisinage sous-entend distance) ou un fermé (que nous avions définis comme l'adhérence). Enfin bon.

Merci pour l'aide que vous m'avez apportée.
-----

[God's Breath]

je ne savais pas qu'on définissait l'adhérence de A (A inclu dans E) comme le plus petit ensemble fermé contenant A. J'imagine qu'on entend 'petit' comme l'ensemble ayant le plus petit cardinal (ou un équivalent dans le cas d'ensemble non dénombrable, mais j'avoue que je n'ai que de minces notions sur ce sujet).

Pour la défintion de l'adhérence, tu peux consulter http://fr.wikipedia.org/wiki/Adhérence_(mathématiques).

La notion de "plus petit" s'entend au sens de l'inclusion : si est un fermé qui contient , alors .

Seuls les notions d'ouvert et de fermé me gênent à présent, puisqu'à part avec des cas intuitifs, sans utiliser la notion de distance à laquelle je m'étais habitué, je ne vois plus comment définir un intérieur (qui est un ensemble de voisinages inclus dans un certain ensemble, mais voisinage sous-entend distance) ou un fermé (que nous avions définis comme l'adhérence).

Pour la définition de l'intérieur, tu peux consulter http://fr.wikipedia.org/wiki/Intérieur_(mathématiques).

Dans les espaces topologiques généraux, la notion d'ouvert est première et fait l'objet d'axiomes spécifiques, voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique.

[Universus]

Merci God's Breath,

Comme je le disais, c'est qu'en fait dans mon cours sur l'analyse réelle (et les espaces métriques) nous avons défini les concepts de boules ouvertes (ou de voisinage), puis des notions comme celle de point intérieur pour ensuite mener au concept d'intérieur (comme union des points intérieurs) ou de point d'adhérence, duquel on définissait l'adhérence (comme l'ensemble des points adhérents). Néanmoins, comme je l'ai dit, ces différentes notions de points font toutes appel à la notion de voisinage et donc (du moins dans la façon que nous avions défini un voisinage) à la notion de distance entre deux points. Les définitions d'intérieur et d'adhérence données dans les liens que tu me fournis étant des propositions que nous démontrions des définitions que nous avions adoptées. Bref, avec la notion de distance et de voisinage comme base pour faire de la topologie un peu, on a peut-être mélanger les concepts... cela se voulait-il peut-être une façon de ne pas aborder des notions fondamentales de la théorie des ensembles et de la topologie et partir de choses qui sont peut-être un peu plus intuitive comme la distance... bref je ne sais pas, mais bon, merci pour ton aide.

Sinon, dans l'autre discussion, en disant que la définition d'adhérence que j'utilisais ne me donnait pas comme adhérence le singleton, c'est une erreur que je faisais, mélangeant le sous-ensemble et l'ensemble général (honte à moi) ; en fait, on retrouve bel et bien le singleton pour l'adhérence.

[invite986312212]

bonjour,

si je puis me permettre un conseil: tu peux dans l'étude de l'Analyse, même à un niveau assez avancé, te limiter à la connaissance des espaces métriques, et laisser de côté la topologie générale. Comme ça tu raisonnes en termes de boules ouvertes, de suites, etc. bref des objets faciles à se représenter. La plupart des espaces de l'Analyse sont des espaces métriques. Je crois que la topologie de la convergence presque-sûre n'est pas métrisable, mais ça n'est pas ce qui t'empêchera d'apprendre des probas si ça t'intéresse.
Ce qu'il ne faut pas faire, c'est utiliser des résultats vrais pour les espaces métriques dans le cas général, ou si tu préfères, utiliser une intuition développée en réfléchissant aux espaces métriques (souvent les R^n) pour penser aux espaces topologiques généraux. Par exemple en général, l'adhérence d'un singleton n'est pas égale audit singleton.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

Merci ambrosio,

C'est en effet ce que mon professeur a dit, qu'à part des cas pathologiques relativement peu utilisés, la plupart des espaces topologiques sont des espaces métriques. Cela n'empêche pas que le sujet général devrait m'intéresser, mais je ne suis pas encore à ça et le jour où j'y serai, je ferai autant attention que possible à ne pas user de mon intuition à tort et à travers.

Autrement, honteusement, la discussion qu'il y a eu sur l'autre fil (bien que cela m'ait permis de clarifier quelques choses) est due en très grande partie à cette erreur :

Sinon, la définition que j'ai vraiment apprise de l'adhérence est dans ce cas-ci:

et puisque dont l'intersection avec n'est pas nul pour tout , on aurait que l'adhérence de la boule ouverte est l'ensemble entier .

On devrait lire . Si on prend par exemple , on a que et donc l'intersection avec est vide, de telle sorte que l'adhérence de est la boule ouverte elle-même (soit le singleton). Néanmoins, cette erreur a eu pour effet de m'apprendre du nouveau, alors c'est positif au fond. Merci beaucoup.

NB : Prendre delta = 1 suffit, mais une question comme ça : puisque la distance ultramétrique est de X^2 dans {0,1}, est-ce que je ne peux prendre que delta égal à 0 ou 1 (en fait que 1 puisque delta est pris strictement positif)? Cela me semblerait plus cohérent, mais quand même.

[kadomatsu]

Il n'y a aucune honte à avoir. C'est une erreur que j'ai aussi commise ; plein de gens se sont déjà fait avoir et plein d'étudiants se planteront encore avec ceci !

Merci ambrosio,

Autrement, honteusement, la discussion qu'il y a eu sur l'autre fil (bien que cela m'ait permis de clarifier quelques choses) est due en très grande partie à cette erreur :

On devrait lire . Si on prend par exemple , on a que et donc l'intersection avec est vide, de telle sorte que l'adhérence de est la boule ouverte elle-même (soit le singleton). Néanmoins, cette erreur a eu pour effet de m'apprendre du nouveau, alors c'est positif au fond.

[Universus]

La honte est de se planter sur ce genre de chose en parlant ouvertement sur un forum et pas quand on est seul avec sa feuille papier seul témoin de nos éventuelles erreurs

[invitebfca8321]

Les topologies non métriques sont en fait plus très courantes en analyse : topologies faibles, faibles * etc Et en proba aussi avec la topologie de la convergence en loi par exemple (la topologie de la convergence en proba est métrisable par contre).