Supplémentaires orthogonaux

[Snowey]

Bonsoir,

je sais que c'est une question un peu idiote, mais comment parvenir à montrer que (matrices symétriques) et (antisymétriques) sont deux espaces supplémentaires ortogonaux dans l'espace vectoriel muni du produit scalaire ?
J'arrive à me ramener à la condition , qui elle même sera donnée par une seule inclusion
En fait j'ai pensé à montrer l'orthogonalité sur une base des matrices antisymétriques, i.e que pour tout , . Mais n'a-t'on pas ?
Si c'est le cas, alors on aboutit à , ce qui donne le résultat.
L'ayant sur une base, on a l'inclusion et par des arguments de dimension le résultat suit, est ce correct ?

Merci d'avance,
Snowey
PS: en fait les idées me sont venues en écrivant ce message !
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[Seirios]

Bonjour,

Un argument simple pour montrer que avec A symétrique et B antisymétrique : la trace est conservée en passant à la transposée.

[Seirios]

En fait j'ai pensé à montrer l'orthogonalité sur une base des matrices antisymétriques, i.e que pour tout , . Mais n'a-t'on pas ?

Qu'est-ce que ?

L'ayant sur une base, on a l'inclusion et par des arguments de dimension le résultat suit, est ce correct ?

Le raisonnement me paraît tout à fait correct.

[Snowey]

Ah oui, c'est encore plus simple !
Du coup on a si A est symétrique et B antisymétrique, et donc le résultat ^^
Le (a) était en fait le coefficient de la matrice symétrique X

Merci beaucoup !

J'ai une autre question, reliée aux matrices orthogonales (je la mets à la suite pour ne pas recommencer un topic, mais s'il le faut je le ferai):
Si , alors on a les inégalités suivantes:
1)
2) .

La 1) me vient rapidement avec Cauchy Schwarz puis la propriété des vecteurs colonne de cette matrice d'être normés, mais j'ai un peu plus de mal pour la seconde ... Je n'ai pas encore utilisé le fait que ce soit une base orthogonale, ce qui va peut être jouer un role ici, mais je ne vois pas lequel :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Si tu notes u le vecteur colonne constitué que de 1, alors ; l'inégalité est alors une conséquence de Cauchy-Schwarz.