topologie discrète et adhérence

[Bruno0693]

Bonjour,

Je débute mon cours de topologie (L3) et je suis un peu perdu concernant certains résultats.

Soit l'espace métrique où est la distance discrète, définie par :

si et si

Soit à présent et considérons la boule ouverte de centre a et de rayon 1. Alors, on a :



Par contre, la boule fermée de centre a et de rayon 1 semble être égale à R² tout entier ! En effet :



Mes questions :

1) Est-ce que ces deux calculs sur et sont corrects ?

2) Quelle serait l'adhérence de la boule ouverte B(a,1) : ? Je n'arrive pas à la déterminer...

Merci d'avance pour vos réponses.
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[gg0]

Bonsoir.

1) Si tu as appliqué les définitions, c'est correct. Même si ça te surprend (la vérité mathématique n'est pas une question d'habitude, seulement d'application des règles)
2) Quelle est ta définition (*) de l'adhérence ? Que donne-t-elle ici ?

Cordialement.

(*) ce n'est pas une fausse question, il y a plusieurs définitions suivant ce qu'on fait.

[ericcc]

Tout est là : http://fr.wikipedia.org/wiki/Adh%C3%...%A9matiques%29

[Bruno0693]

Merci pour ta réponse, gg0.

Pour l'adhérence, je dispose de deux définitions : une que je qualifierais de "métrique" et une autre avec les suites. Celle qui me semble la plus appropriée ici est la première, que voici :

Soit (X, d) un espace métrique. Soit A une partie de X. Alors, pour tout a dans X on a :



J'essaye maintenant de transposer cela à mon exemple. Soit donc où est la distance discrète. Soit encore a dans R² et, enfin, B(a,1) la boule ouverte de centre a et de rayon 1, dont j'ai montré qu'elle était égale à .

Je cherche donc .

Soit . Alors, d'après ma définition, pour tout r > 0, je dois trouver un dans tel que .

Or, je sais que . Donc, si , cela veut dire que, pour tout r>0, on a .

Cela étant valable pour tout r>0, ça l'est en particulier pour les r vérifiant 0 < r < 1. Or, pour 0 < r < 1, on a :



Finalement, j'en conclus que :

Et, en même temps, je remarque que l'adhérence de la boule ouverte est strictement incluse dans la boule fermée de même centre (pour la distance discrète évidemment).

Est-ce que ce calcul de te paraît correct ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Voilà,

tu as mis en oeuvre la définition, et la conclusion vient sans problème. Dans la plupart des exercices de début de chapitre, ou d'applications de méthodes, il suffit de faire ainsi.
Si tu doutes de ta preuve, tu la réexamines de façon très critique : A chaque étape, tu poses la question "pourquoi ?". Tu dois avoir une application immédiate de définition ou de théorème qui justifie. Si ce n'est pas le cas, c'est une faiblesse de ta preuve, elle risque de casser à cet endroit. Alors tu recherches une justification en plusieurs étapes de ce que tu affirmais. Si tu n'y arrives pas, tu essaye de généraliser pour trouver des contre-exemples de l'idée que tu utilisais. En général on finit par y arriver : soit à justifier, soit à voir que la preuve n'en est pas une.

Cordialement.

NB : Et puis il y a toujours les forums ...