Operateur compact, produit et déterminants

[Quinto]

Salut,
je me posais une question probablement simple, mais je ne vois pas de raison a priori pour que ce soit simple:

Si je me donne un espace de Banach X, et une suite convergente vers 0, est ce que je peux toujours trouver un operateur compact dont ma suite serait le spectre?
Si oui, existe t'il une méthode constructive pour trouver ce fameux opérateur. En fait je pense que c'est pas difficile, mais je n'arrive pas a me convaincre.

Sinon j'ai une deuxieme question a propos des opérateurs compacts:
Je me donne un opérateur compact de spectre fini ou non.
Mettons que
,
dans les cas où la somme ou le produit (ou les deux) des valeurs propres existe(nt), est ce que l'on peut tirer des informations intéressantes sur l'opérateur lui même?
Dans le cas de la dimension finie, le produit non nul, nous donne l'inversibilité de l'opérateur, mais c'est évidemment pas forcément le cas en dimension infinie.

Et si on se restreint aux valeurs propres?

Je suis ouvert à toute idée ou suggestion.
Amicalement,
Quinto
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[martini_bird]

Salut,

pour la première question, si X= muni de sa base hilbertienne canonique , l'opérateur T qui à associe admet l'ensemble des comme valeurs propres et est relativement compact (l'image de la boule unité est inclue dans la boule de rayon ). C'est juste ça?

Cordialement.

[Quinto]

Salut,
en fait j'ai supposé T compact, mais c'est pas grave, ca me donne un élément de réponse (et ne pas rire de moi j'ai posté tard hier soir...)

Sinon ce sont principalement les autres question qui m'intéressent.
En fait j'aimerai savoir quand un endomorphisme admet un polynôme annulateur. Ca doit être rare, non?

[martini_bird]

l'opérateur T [...] est relativement compact (l'image de la boule unité est inclue dans la boule de rayon ).

Il fallait comprendre compact (c'est l'image de la boule unité par T qui est relativement compacte...).

Cordialement.

EDIT: ça existe ça, un opérateur relativement compact?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Il fallait comprendre compact (c'est l'image de la boule unité par T qui est relativement compacte...).

je n'ai meme pas retenu que tu avais dit ca, mais il faut m'excuser je suis malade, et donc pas vite, ces temps ci.

EDIT: ça existe ça, un opérateur relativement compact?

Je ne sais pas trop ce que ca representerai, etant donne qu'un operateur compact est un operateur qui envoie la boule unite sur un ensemble relativement compact.

(ps desole pour les accents, je suis sur un clavier anglophone)
A+

[martini_bird]

je n'ai meme pas retenu que tu avais dit ca

Du coup, je ne comprends pas ce que tu veux dire ici:

en fait j'ai supposé T compact,

mais il faut m'excuser je suis malade, et donc pas vite, ces temps ci.

Alors, bon rétablissement!

Amicalement.

[Quinto]

Du coup, je ne comprends pas ce que tu veux dire ici:

J'avais dit ca, parce que je n'avais pas vu que tu prouvais que T etait compact, et je pensais qu'il ne l'etait pas.
Il y'avait une erreur de mon cote.
Merci de ta reponse et si tu as des idees pour les autres question, je suis preneur, ce sont particulierement elles qui m'interessent.

Amicalement,
Quinto