Opérateur différentiel et opérateur intégrale associé

[dhahri]

Bonjour tout le monde de ce Forum:
voila mon problème:
J'ai un opérateur différentiel de 2ieme ordre dont les fonction propres sont ;. Je veux chercher un opérateur intégrale dont les fonctions propres sont les de l'opérateur différentiel donné au début. c'est a dire je cherche un noyau tel que

ou a et b sont les singularité de mon opérateur différentiel.
J'ai un exemple entre les main: un opérateur différentiel de 2ieme ordre et l'opérateur intégrale qui lui est associé (c'est à dire qui a les meme fonctions propre que l'opérateur différentiel). Mais le problème est que le noyau est parachuté quoi? On n'a pas dit comment on l'a trouvé.
Merci pour votre aide et vos remarques
Dhahri

[GrisBleu]

Salut

tu cherches le noyau tel que (mu serait la veleur propre de l operatue integral et lambda de l operateur differentiel)

je ne connais pas la reponse, mais si on applique l operateur differentiel (notons le P)

ca commute bien gentillement


Soit une fonction f, si ton operateur est comme il faut (et la seul toi peut me dle dire), ses valeurs propres sont une base, et donc

d ou

Si tu es libre de fixe mu, alors prend 1/lambda. Ca te donne

et alors

k serait la fonction de green de ton operateur differentielle (et la, y a la transformee de fourier pour resoudre ce genre d equation)

Es tu libre de fixer les valeur propres ? si oui, j esperes ne pas avoir ecrit trop de betise

[rvz]

Bonjour,

Tu peux donner précisément ton opérateur différentiel ? Je connais quelques méthodes pour trouver le noyau, mais ça ne marche pas à tous les coups ...

__
rvz

[dhahri]

Bonjour a tous:
@ rvz: L'operateur différentiel dont je parle est l'opérateur de Sturm-Liouville prticulier suivant:

où c est un réel positif.
@ wlad: Je ne vois pas l'utilité de fixer mu égal 1/lambda.
D'ailleurs d'aprés ce que tu as dit il suffit que le noyau
k(x,y) vérifie .
Je me trompe pas non??
Et de toutre les façons je crois que non on ne peut pas remplacer car comme tu l'as dit lambda est valeur propre de l'opérateur différentiel et mu est valeur propre de l'opérateur intégral, donc rien ne garantit le fait que mu égal 1/lambda.
Merci pour les réponses, S'il y'en a d'autres remarques je suis preneur

[rvz]

Salut,

Etant donné la forme de ton opérateur (je suppose que tu travailles sur (-a,a) avec a <1 ? ) , je pense qu'on peut envisager de résoudre ça avec une méthode de type série entière, non ?

__
rvz

[GrisBleu]

@ wlad: Je ne vois pas l'utilité de fixer mu égal 1/lambda.
D'ailleurs d'aprés ce que tu as dit il suffit que le noyau
k(x,y) vérifie .

Je me trompe pas non??Salut, je pense que oui, tu te trompes (enfin je crois). L interet de fixer les valeurs propres (si tu es libre de le faire, tu ne le precises pas) est que tu retombes sur les fonctions de green, et ca c est classique

[rvz]

Bon, juste pour commenter un peu la méthode de Wlad.

En fait, le noyau est un objet qui vérifie la propriété suivante

En général, on cherche donc le noyau pour y =0, et puis on translate. Ici, c'est impossible parce que Px dépend de x. Cela dit, ça ne m'étonnerait pas trop si ça ne dépendait que de |y|...
Ca ne t'empêche pas d'essayer de résoudre l'équation P(f) = 0 pour f quelconque, sans condition au bord sur (-1,1). Tu auras des coefficients indéterminés (2 si je ne m'abuse) et tu devrais t'apercevoir qu'il existe des jeux de coefficients qui te font exploser ta fonction (surtout sa dérivée) en un point y de (-1,1). En jouant comme il faut avec ses coefficients, tu devrais pouvoir obtenir quelque chose.

__
rvz

[dhahri]

@rvz: Comment on peut arranger ça avec une série entière? et déja qu'est ce que tu va développer en série entière: est ce que le noyau (et on ne sait pas si c'est analytique pour qu'on puisse le développer en série entière.
Ou c'est la fonction f qu'on va développer en série entière et la je ne vois pas l'utilité car mon objectif c'est trouver le noyau et non pas les fonctions propres.

@wlad: je t'explique pourquoi on ne peut pas poser mu égale 1/lambda. mu est une valeur propre de l'operateur intégrale et lambda est une valeur propre de l'opérateur intégrale: Qui te garantit que mu égale 1/lambda, pour que tu puisse appliquer la méthode de Green (dont je connais pas personnellement) je ne sais pas si tu me l'explique ou si tu peux me donner un lien parlant de cette méthode.
Merci encore pour vos remarques

[rvz]

Si pour tout g, tu arrives à résoudre P(f) = g avec une formule explicite, tu devrais pouvoir obtenir le noyau sans trop de difficultés.

Au fait, tu ne nous as toujours pas dit sur quel intervalle tu travaillais, quelles sont les conditions au bord, etc ....

__
rvz

[GrisBleu]

Salut

@wlad: je t'explique pourquoi on ne peut pas poser mu égale 1/lambda. mu est une valeur propre de l'operateur intégrale et lambda est une valeur propre de l'opérateur intégrale: Qui te garantit que mu égale 1/lambda

Ben c etait une question que je te posais es tu libre de fixer les valeurs propores ou pas ?
si rvz a trouve une methode plus sympa que celle des fonctions de green, regarde quand meme de ce cote

ciao

[dhahri]

Bonjour
@rvz: l'intervalle sur lequel on travaille est , et en ce qui concerne les conditions au bords on n'a pas parlé de ces conditions dans tous les référence que j'ai entre les mains.
Le problème est que on ne peut pas résoudre l'equation dont tu parles , pour g fixée quelconque.
@ wlad: on ne peut pas fixer les valeurs propres des opérateurs pour avoir mu egal 1/lambda.
Et admettons qu'on peut le faire, comment va-t-on faire pour trouver ce noyau ?
Merci pour vos remarques.
s'il y'en a d'autres je suis preneur
Amicalement
Dhahri

[GrisBleu]

on peut pas fixer les valeurs propres des opérateurs pour avoir mu egal 1/lambda.
Et admettons qu'on peut le faire, comment va-t-on faire pour trouver ce noyau ?

Ca depend de ton enonce, si tu ne veux juste que les memes vecteurs (fonctions) propres, tu as le droit, si tu veux les memes valeurs propres non (mais quid des vecteurs) et enfin si tu veux les memes valeurs et les memes vecteurs, ca me semble louche (mais la c est l avis d un neophyte) car tu aurais le meme operateur (non ?)

Enfin, les techniques classiques des fonctions de green, c est la transformee de fourrier (la TF de dirac, c est un, donc ca aide).

Bon, je n'y connais pas grand chose, il y a surement d autres techniques

@+

[dhahri]

Salut

tu cherches le noyau tel que (mu serait la veleur propre de l operatue integral et lambda de l operateur differentiel)

je ne connais pas la reponse, mais si on applique l operateur differentiel (notons le P)

ca commute bien gentillement


Soit une fonction f, si ton operateur est comme il faut (et la seul toi peut me dle dire), ses valeurs propres sont une base, et donc

d ou

Si tu es libre de fixe mu, alors prend 1/lambda. Ca te donne

et alors

k serait la fonction de green de ton operateur differentielle (et la, y a la transformee de fourier pour resoudre ce genre d equation)

Es tu libre de fixer les valeur propres ? si oui, j esperes ne pas avoir ecrit trop de betise

Tu dis que est la fonction de Green de mon opérateur?
Ma question est: Quelle est la fonction de Green de mon opérateur ? Et si tu le permet : Comment on détermine la fonction de Green d'un opérateur différentiel de deuxieme ordre d'une façon générale?
Merci bien davantage pour l'aide.
Amicalement
Dhahri

[GrisBleu]

Salut

En fait ma derniere ligne etair fausse, c etait

qui est bien la definition d une fonction de green

regarde par la pour plus d info
http://en.wikipedia.org/wiki/Green_function

[dhahri]

Bonjour wlad_von_tokyo:
Merci bien pour la réponse et le lien proposé.
Il est à noter que dans ce lien donné, on affirme l'existance de la fonction de Green et on donne quelques conditions qu'elle doit vérifier.
Pour mettre les points sur les i et non pas les i sur les points: On a un opérateur de Sturm-Liouville particulier: Dans le cas ou et , dans ce cas particulier on retrouve mon opérateur différentiel que j'ai noté précedemment et je veux lui chercher la fonction de Green dont tu me parles.
Comment procede-t-on étape par étape pour trouver cette fonction de Green associée à mon opérateur différentiel particulier .
Merci bien encore une autre fois pour la réponse et le lien plus ou moins intéressant.
S'il y'en a d'autres remarque je suis preneur.
amicalement