Forme linéaire et image

[salym]

Bonjour , alors voila j'essaye de faire des exercices sur les espaces vectoriels et les systèmes linéaire et la je bloque dans le concept d'image d'une application linéaire , au fait j'arrive pas à savoir clairement ce qu'il faut faire , je me dis s'il cherche l'image sa veut que je dois trouver les vecteurs qui engendre mon image , on a fait en TD une méthode mais je suis pas vraiment satisfait elle me parait pas très rigoureuse donc je me remets à vous pour m'éclairer sur le sujet et Merci.
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[toothpick-charlie]

bonjour,

l'application t'est donnée comment?

[salym]

l'application est définie de R3 -> R3 (c'est l'un des cas)

[Tryss]

L'image d'une application linéaire, c'est l'ensemble des valeurs que peut prendre cette application linéaire.

Par exemple, cette application linéaire de R^2 dans R^3 :

f(x,y) = (2x,x+y,y)

L'image de cette application linéaire est I = { (2x,x+y,y) | x et y appartiennent à R }

Alors bien-sur, quand on a dit ça on a pas dit grand chose, on aimerai savoir un peu plus de choses sur I.

Par exemple, trouver des vecteurs qui engendrent I (voir même une base )


Pour faire ça, on peut calculer l'image de chacun des vecteurs d'une base de l'espace de départ, et par linéarité, ils vont engendrer l'espace image (ça ne serra pas nécessairement une base).

Par exemple f(1,0) = (2,1,0) et f(0,1) = (0,1,1), donc I = vect ( (2,1,0),(0,1,1) )

Pour montrer que l'image des vecteurs de la base de départ engendre bien I :

Soit , alors par définition, il existe X tel que.

Soit une base de l'espace de départ. Alors par définition :



Et on a :


On a donc bien que les engendrent I

(je me suis restreint aux espaces vectoriels à base finie ou dénombrable)

J'espère que j'ai été clair


Ah, un truc, les formes linéaires sont les applications à valeur dans R (ou C), l'image n'a donc peut d’intérêt : soit l'application linéaire est nulle, et dans ce cas l'image est {0}, soit l'image est R (ou C) tout entier. Ça n'est donc pas quelque chose d’intéressant dans ce cas (au contraire du noyau, qui lui est intéressant)

[A voir en vidéo sur Futura]

[salym]

merci pour la réponse c'est assez clair , bon vois je vais vous montrer ce qu'on a fait et dites moi si c'est bien structuré parce que je suis pas vraiment d'accord , F( x ,y ) = ( x+ y+ z , x +2y+ z) pour déterminer par quel vect. l'image est engendré voilà ce qu'on a fait
= { (x + y +z , x +2y +z)}
= { x + y + z (1,1) + y (0,1) }
= { a (1,1) + b (0,1)}
et donc Im(f) est engendré par { (1,1) ; (0,1) } et puis on a vérifié si c'est une base.

[Tryss]

Heu... plusieurs problèmes :
- il n'y a pas de z dans la définition de ta fonction... Je présume que c'est plutôt F(x,y,z) = (x+y+z , x+2y+z)
- il manque des parenthèses dans ton calcul

Mais si c'est comme ça que vous avez fait, je peux comprendre que tu n'ai pas très bien compris.

Ici, avec "ma" méthode, on calcule F(1,0,0) = (1,1), F(0,1,0) = (1,2) et F(0,0,1) = (1,1)

On sait alors que Im(F) = Vect( (1,1), (1,2), (1,1) )

On remarque tout de suite que (1,1) = (1,1), donc pour le coup on se retrouve avec un espace engendré par les vecteurs (1,2) et (1,1), qui sont clairement indépendants (enfin, c'est pareil que pour (0,1) et (1,1) )



Pour la méthode qui t'es proposée, elle consiste à écrire que ( x+ y+ z , x +2y+ z) = (x+y+z, x+y+z) + (0,y) = (x+y+z)*(1,1) + y*(0,1) et comme x+y+z et y sont indépendants, on peut les remplacer par a et b, deux valeurs indépendantes l'une de l'autre.

Alors oui, c'est juste, mais ça nécessite de voir la décomposition, et n'est donc utile que dans les cas simples (ou quand on maitrise bien la notion, pour aller vite).

La méthode de calculer les images des vecteurs d'une base de l'espace de départ, puis de "faire le tri" pour ne garder qu'une base a le bon gout d'être applicable à toutes les situations (tout du moins celles ou on a une "belle" base dans l'espace de départ).