Espace préhilbertien réel

[Snowey]

Bonjour
Aujourd'hui j'ai décidé de revoir les espaces euclidiens et préhilbertiens réels.
En parlant de produit scalaire, on a eu deux exemples sur :
où les sont distincts
avec

On peut montrer de manière "classique" que ce sont bien des produits scalaires (formes bilinéaires symétriques positives définies) , mais ne peut on pas faire autrement ? Parce qu'il y a une grande ressemblance avec le produit scalaire usuel sur , pour lequel on multiplie les coordonnées. Y a t'il un lien (bijection ?) possible entre ces produits scalaires ? J'ai par exemple envie de considérer la base des polynômes interpolateurs de Lagrange aux points , base dans laquelle les coordonnées des polynômes sont bien les . Et pour , pourquoi ne pas considérer (à un facteur près) la décomposition de Taylor dans la base qui donne les coordonnées .
Y a t'il un moyen de "transporter" un produit scalaire d'un espace euclidien (voire préhilbertien réel) vers un espace vectoriel isomorphe (pour le transformer à son tour en espace euclidien muni du produit scalaire ainsi formé) ?

Une autre question, indépendante, concerne une exercice: trouver la distance de l'exponentielle à l'espace (préhilbertiens réels) des fonctions polynômiales, assimilé à auquel on associe le produit scalaire par exemple.
Je sais calculer cette distance à un sous espace vectoriel de dimension finie, , dumoins en théorie (parce qu'en pratique, trouver une base orthonormée de grande dimension est long si on utilise Schmidt, puis il faut encore considérer le projecteur sur le sev, et calculer la norme).
Mais que faire en dimension infinie ?
Une première intuition est que cette distance est nulle, du fait qu'on a (avec la formule de Taylor Lagrange) (donc elle est, en quelque sorte, une limite de polynôme). Mais je me méfie beaucoup de cette vision, notamment parce qu'elle ne prends pas en compte le produit scalaire intégral considéré. Quoiqu'il en soit, je suis en terrain nouveau
Une autre idée aurait été de considérer cette distance comme la limite de la suite , mais une fois de plus, rien ne me garantie que la notion de distance "passe à la limite" !

J'avoue ne pas vraiment savoir, j'ai besoin de votre avis.
J'espère aussi que mes questions ne sont pas trop idiotes

Merci d'avance,
Snowey
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[Seirios]

Bonjour,

On peut montrer de manière "classique" que ce sont bien des produits scalaires (formes bilinéaires symétriques positives définies) , mais ne peut on pas faire autrement ? Parce qu'il y a une grande ressemblance avec le produit scalaire usuel sur , pour lequel on multiplie les coordonnées. Y a t'il un lien (bijection ?) possible entre ces produits scalaires ? J'ai par exemple envie de considérer la base des polynômes interpolateurs de Lagrange aux points , base dans laquelle les coordonnées des polynômes sont bien les . Et pour , pourquoi ne pas considérer (à un facteur près) la décomposition de Taylor dans la base qui donne les coordonnées .
Y a t'il un moyen de "transporter" un produit scalaire d'un espace euclidien (voire préhilbertien réel) vers un espace vectoriel isomorphe (pour le transformer à son tour en espace euclidien muni du produit scalaire ainsi formé) ?

Si E est un espace préhilbertien, F un espace vectoriel et un isomorphisme d'espaces vectoriels, alors tu peux montrer que permet de munir F d'une structure d'espace préhilbertien isomorphe à celle de E. (C'est en fait quelque chose d'assez général, si tu disposes d'une structure sur E et d'une fonction f de E vers F, alors tu peux munir F du même type de structure faisant de f un isomorphisme.)

De même, avec ce que tu as dit, tu peux facilement montrer que est un espace préhilbertien isomorphe à .

Une autre question, indépendante, concerne une exercice: trouver la distance de l'exponentielle à l'espace (préhilbertiens réels) des fonctions polynômiales, assimilé à auquel on associe le produit scalaire par exemple.
Je sais calculer cette distance à un sous espace vectoriel de dimension finie, , dumoins en théorie (parce qu'en pratique, trouver une base orthonormée de grande dimension est long si on utilise Schmidt, puis il faut encore considérer le projecteur sur le sev, et calculer la norme).
Mais que faire en dimension infinie ?

Comme tu ne bornes pas le degré des polynômes, tu peux utiliser la décomposition en série de la fonction expoentielle pour montrer qu'elle est limite uniforme de polynômes, c'est-à-dire qu'il existe une suite de polynômes telle que . Tu peux dès lors montrer que la distance entre la fonction exponentielle et tend également vers zéro, ie. que la distance de l'exponentielle à est nulle (bien qu'elle n'y appartienne pas !).

[Snowey]

Merci beaucoup, Seirios, tu réponds parfaitement à ma question
En sachant que qui envoie la base des polynômes interpolateurs de Lagrange sur la base canonique de et qui envoie la base des sur la b.c, sont des isomorphismes on peut munir de la structure d'espace euclidien, avec pour produits scalaires et .

Merci beaucoup !!