Modèles non-standard de l'arithmétique

[invite234bc7a5]

Bonjour
J'aimerais savoir qui et en quelle année a découvert l'existence des modèles non-standards de l'arithmétique. Je pose cette question
car si le premier théorème d'incomplétude de Gôdel rend évidente leur existence, on pouvait prouver celle-ci avant, notamment avec le
théorème de compacité. Mais quelqu'un l'avait-il fait?

Puisque c'est ma première intervention sur ce forum j'en profite pour demander si ce genre de sujet a sa place sur le forum Mathématiques
car il y a un forum Epistémologie et Logique (mais il m'a semblé plus tourné vers les questions philosophiques que vers les questions techni-
ques).

[invite234bc7a5]

Pardon pour l'orthographe ( arithmétique; Epistémologie) et la mise en page. C'est vrai que c'est pas malin de faire une faute pareille dans le titre...

[Médiat]

Bonjour,

J'ai corrigé votre titre et Epistémologie.

La notion de Modèle non standard date de 1934 (3 ans après le théorème d'incomplétude de Gödel) grace aux travaux de Thoralf Skolem.

Pour montrer l'existence de tels modèles, on peut utiliser :

1. Le théorème de Löwenheim-Skolem (qui permet d'affirmer qu'il existe des modèles non-dénombrables) (1936 pour la version complète)
2. La non complétude de l'axiomatique de Peano (impliquée par le théorème d'incomplétude de Gödel, mais celui-ci n'est pas nécessaire)
3. Le théorème de compacité (la manière la plus élégante, selon moi) 1930 pour sa version dénombrable et 1936 pour la verson complète.

[invite234bc7a5]

Bonjour,

Merci beaucoup pour ces réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite234bc7a5]

Je suppose donc qu'il était techniquement possible de démontrer le résultat avant 1934, et même avant 1931, mais que c'est la notion même
de modèle qui demandait à être prise en considération.

[Médiat]

Absolument, vous avez parfaitement raison.

Puis-je vous demander l'origine de votre întérêt pour ces questions (pour ma part je me suis intéressé à la théorie des modèles à partir de 1972 )

[invite234bc7a5]

En réponse à votre question:

Bertrand Russell a été mon idole pendant mon adolescence, au début plus pour des raisons philosophiques que mathématiques; j'ai gardé longtemps le projet de lire les Principia Mathematica, et j'ai fini récemment par ma lancer dans la lecture, avec difficulté. Je me dis que je devrais probablement remonter un peu plus loin en arrière et commencer par Frege.

Je me suis beaucoup interrogé sur les questions de Logique pendant mes études, par exemple j'ai été choqué de voir que Bourbaki utilisait les démonstrations par l'absurde dès les premières pages de sa Théorie des Ensembles, ce qui, vu qu'on ne sait pas (du moins au début, mais même semble-t-il par la suite) si la théorie qu'on en en train d'élaborer est non contradictoire ou pas, me semblait très peu "constructif".(Je pensais que, même si la théorie qu'on mettait en place devait en fin de compte être contradictoire, on commettait un erreur plus grave, dans l'esprit, en utilisant les démonstrations par l'absurde à l'intérieur de celle-ci qu'en s'abstenant de le faire, et qu'on devait par conséquent ne le faire que le plus tard possible).

[gg0]

Bonjour Idomeneo.

A propos des preuves "par l'absurde" (qui ne sont le plus souvent qu'une présentation simplifiée d'une preuve par contraposition) : Comme on est bien incapables de prouver la non contradiction des théories mathématiques "utiles", utiliser des preuves comme celles-ci au début ou seulement plus tard ne change rien !

Cordialement.

[Médiat]

Bonsoir,

Si vous voulez avoir une démarche historique (Je suis toujours fan de Russell, y compris pour des raisons philosophiques) remonter à Frege est indispensable.

Pour la théorie des ensembles, j'ai été l'étudiant de Krivine, donc (je connais ses qualités) je conseille son livre.

Je vous confirme que l'on ne sait pas si ZF est contradictoire ou non.

Par contre je ne comprends pas votre objection sur le raisonnement par l'absurde (ZFC permet de démontrer la validité du tiers exclu donc du raisonnement par l'absurde)

[invite234bc7a5]

(suite de ma réponse):

Mais mon intérêt pour la Logique a décuplé ces dernières années (ou plutôt j'ai décidé de m'y mettre "à fond") en raison de circonstances bien particulières. A l'Université de *** (je vous indique les références en privé) j'ai assisté à des conférences et partipé à un groupe de discussions sur la Physique, au cours desquelles des sujets Philosophiques ou Mathématiques étaient souvent abordés. Le Professeur (de Physique) nous a, par deux fois, exposé que la non démontrabilité de l'axiome des parallèles à partir des autres axiomes d'Euclide serait une illustration du théorème de Gödel.
J'ai essayé, chaque fois, de lui dire que ça n'allait pas et de lui expliquer ce que seraient de vraies illustrations du premier théorème d'incomplétude, mais il a refusé de m'écouter (comme d'ailleurs sur de nombreux autres sujets). Je me suis ainsi trouvé tragiquement isolé au sein du groupe, dans lequel de nombreux participants sont de fervents admirateurs de ce Professeur, qui a par ailleurs de grandes qualités. Je garde d'ailleurs de l'estime pour lui et suis très affecté et très déprimé par ce refus du dialogue, que j'attribue à des questions d'amour propre et de peur de se trouver "pris en défaut".
Alors je me suis dit que la seule solution pour établir un dialogue était que je rédige un texte écrit sur la question. Mais vu les circonstances, je ne pouvais pas me contenter d'expliquer ce que ne disait pas Gödel; il fallait, sans raconter de bêtises, que j'essaye d'abord de comprendre et ensuite d'expliquer ce qu'il disait vraiment, ce qui est considérablement plus difficile. Je me suis donc trouvé au pied du mur.
Maintenant, après une longue période de reflexion, je pense être en mesure, dans les semaines ou les mois qui viennent, de rédiger enfin un texte qui soit satisfaisant. Mais il me reste encore quelques détails à régler, notamment la question de l'utilisation possible des langages d'ordre supérieur, alors que dans de nombreux ouvrages seuls les langages du premier ordre sont pris en considération.
Bien sûr la Logique continue de m'intéresser prioritairement pour elle-même, et j'espère avoir le plaisir de nombreuses discussions sur ce forum.

[Médiat]

Le Professeur (de Physique) nous a, par deux fois, exposé que la non démontrabilité de l'axiome des parallèles à partir des autres axiomes d'Euclide serait une illustration du théorème de Gödel.

Honnêtement, je ne vois pas ce que viens faire Gödel là dedans.

Maintenant, après une longue période de reflexion, je pense être en mesure, dans les semaines ou les mois qui viennent, de rédiger enfin un texte qui soit satisfaisant.

Je me permets de vous envoyer là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958163, où vous trouverez une démonstration simplifiée, mais où les difficultés ne sont pas cachées.

Mais il me reste encore quelques détails à régler, notamment la question de l'utilisation possible des langages d'ordre supérieur, alors que dans de nombreux ouvrages seuls les langages du premier ordre sont pris en considération.

Les langages d'ordres supérieurs sont très différents, par exemple au deuxième, pas de théorème de complétude, pas de théorème de Löwenheim-Skolem, etc. de plus Peano avec la récurrence du deuxième ordre n'a qu'un seul modèle, donc la question de l'incomplétude ne se pose pas.

Bien sûr la Logique continue de m'intéresser prioritairement pour elle-même, et j'espère avoir le plaisir de nombreuses discussions sur ce forum.

Je m'en lèche les babines d'avances

[invite234bc7a5]

Pour Mediat:

- j'ai le livre de Krivine "Théorie axiomatique des ensembles" (PUF) mais il en a écrit d'autres; auquel faites-vous allusion?

- concernant les langages d'ordre supérieur, plusieurs théorèmes de limitation célèbres sont établis pour la Logique du premier ordre; se pose alors la question de savoir si on peut "passer par dessus" les inconvénients pratiques de ces limitations en utilisant un langage d'ordre supérieur. Je suppose que la réponse est non, sinon ces théorèmes ne seraient pas si célèbres. J'ai en partie compris pourquoi mais
pas totalement.
Par exemple on lit parfois que le théorème de Lowenheim-Skolem a porté un coup au moral des enthousiastes de la formalisation, en montrant une limitation de celle-ci: en effet on ne peut pas formaliser les nombres réels (par exemple) de maniére satisfaisante au premier ordre puisqu'on aura des modèles de cardinaux différents. Mais dans les mathématiques "usuelles" on utilise des axiomes du second ordre qui définissent IR de manière unique (à un isomorphisme près). Alors c'est embêtant à cause de l'incomplétude du second ordre, ou y a-t-il aussi d'autres inconvénients?

[gg0]

Idomeneo,

" la non démontrabilité de l'axiome des parallèles à partir des autres axiomes d'Euclide" est un résultat classique, obtenu dès le dix-neuvième siècle par un modèle de la géométrie de Lobatchevsky dans la géométrie euclidienne. Il n'y a effectivement rien à voir avec le théorème de Gödel, arrivé plus de 50 ans après. Pour "dévisser" l'affirmation de ton prof, nul besoin de décoder la logique, les maths "classiques" (ceux d'Euclide, justement) suffisent.

Cordialement.

[Médiat]

- j'ai le livre de Krivine "Théorie axiomatique des ensembles" (PUF) mais il en a écrit d'autres; auquel faites-vous allusion?

Le même aux éditions Cassini qui est plus récent (j'ai celui des PUF qui date de 72).

concernant les langages d'ordre supérieur, plusieurs théorèmes de limitation célèbres sont établis pour la Logique du premier ordre; se pose alors la question de savoir si on peut "passer par dessus" les inconvénients pratiques de ces limitations en utilisant un langage d'ordre supérieur. Je suppose que la réponse est non, sinon ces théorèmes ne seraient pas si célèbres. J'ai en partie compris pourquoi maispas totalement.

Si, on peut, mais a un certain coût (perdre le théorème de complétude de Gödel me paraît très gênant).

Par exemple on lit parfois que le théorème de Lowenheim-Skolem a porté un coup au moral des enthousiastes de la formalisation, en montrant une limitation de celle-ci: en effet on ne peut pas formaliser les nombres réels (par exemple) de maniére satisfaisante au premier ordre puisqu'on aura des modèles de cardinaux différents. Mais dans les mathématiques "usuelles" on utilise des axiomes du second ordre qui définissent IR de manière unique (à un isomorphisme près). Alors c'est embêtant à cause de l'incomplétude du second ordre, ou y a-t-il aussi d'autres inconvénients?

Je suis un enthousiaste de la formalisation, et je tiens le théorème de Löwenheim-Skolem pour une excellente nouvelle .

En fait les mathématiciens n'ont pas vraiment le choix : utiliser des formules qui ne sont pas du 1er ordre (axiome d'Archimède, par exemple) (choix des mathématiciens "normaux"), ou travailler dans ZF, ce dernier choix est généralement celui des logiciens