Etude de fonction

[invite196f7a30]

Bonjour a tous, je suis actuellement en classe prépa PCSI et j'ai un DM en maths sur lequel je bloque un peu. (c'est la rentrée, et j'ai un peu oublié pendant les vacances...)
L'énoncé est le suivant.
F(x)=x²ln(1+1/x)

Il faut déterminer l'ensemble de définition, celui de la dérivée.
Trouver la dérivée et ensuite etudier les variations de h(x)=f'(x)/x et c'est là que je bloque

J'ai donc trouvé: Df ]-oo;-1[U]0;+oo[
Pareil pour Df'
F'(x)= (2x²*ln(1+1/x)-1)/x
Et donc pour h(x)=(2x²ln(1+1/x)-1)/x² mais comme x²>0 on étudie juste 2x²ln(1+1/x)-1.

La je vois pas comment étudier les variations car c'est une soustraction et il faut y mettre sous un produit ou quotient. Donc je ne vois pas comment factoriser.

Ensuite il faut montrer que pour tout u>=0, u-u²/2<=ln(1+u)<= u-u²/2+u^3/3
Je voulais partir pour faire un encadrement mais je m’arrête a 1 <= u+1
(<= veut dire supérieur ou égal)


Quelqu'un peut il m'aider ?

Merci d'avance.
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[gg0]

Bonjour.

Ce sont les variations de h(x) que tu dois étudier (c'est ce que tu as dit), pas son signe.

Cordialement.

[ansset]

bonsoir,
par ailleurs ton F' n'est pas bon.
dérivée de a(x)b(x)= a'(x)b(x)+a(x)b'(x)

[invite196f7a30]

Je dois trouver le signe de h(x) d'apres les variations mais je bloque.

Pour la dérivée. Si on prend a(x)=x² a'(x)=2x et b(x)=ln(1+1/x) b'(x)= (d'apres ln(u)=u'/u) -1/(x²+x)
Donc d'apres la formule ça donne: f'(x)=2x*ln(1+1/x)+x²*-1/(x²+x)=2xln(1+1/x)-1/x et si on ramene tout sur le meme denominateur ça donne 2x²ln(1+1/x)-1

non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

c'est sur le f'(x) que je ne trouve pas comme toi au départ.
( peut être une erreur de ma part )
je trouve 2xln(1+1/x)-x/(x+1)

je n'ai pas fait la dérivée de f'(x)/x

[invite196f7a30]

Alors c'est pour ln(1+1/x)' que l'on est pas d'accord. Dans mon raisonnement plus haut vois tu un probleme ?

[ansset]

je ne sais pas tu ne donnes pas le detail.
pour moi
si ln(1+1/x) = f°g(x)=g'(x)*f'(g(x))
ln'(1+1/x)= (-1/x²) /(1+1/x) = (-1/x)/(x+1) = -1/(x(x+1))

[gg0]

Si j'ai bien compris, pour les variations de h, on te propose d'étudier ses variations. Donc c'est ce qu'il faut faire (tu sais comment ?) et comme tu connais la définition de croissant et de décroissant, tu es capable de comprendre que ça a rapport avec les inégalités, donc avec les signes.

Cordialement.

NB : Pour la dérivée de F(x), mon esclave donne 2*x*ln(1+1/x)-1/(1+1/x) (à noter 1/(1+1/x)=x/(x+1) )

[invite196f7a30]

ansset, je trouve la meme chose que toi pour ln'(1+1/x). tu trouve -1/x(x+1) et moi -1/x²+x ce qui est egal.

Mais ça y est j'ai trouvé mon erreur !
Je pense pouvoir me débrouiller pour la suite mais personne n'a une piste pour la question d'encadrement ?

Merci beaucoup !

[gg0]

Vu les questions précédentes,

soit il faut partir sur u=1/x;
soit cet encadrement (qui se prouve directement en étudiant les différences en fonction de u) va servir ensuite probablement en posant u=1/x.

Cordialement.