Série de Fourier

[Bonnie_-]

Bonsoir,

J'aurais besoin d'être sûre que ma réponse est correcte. Quelqu'un pourrait-il me confirmer que j'ai bon, ou alors me corriger, s'il vous plait ?

Voici mon problème :
Soit f(x)= exp (sin x) avec x appartenant à [-pi,pi]. Est-ce qu'il y a convergence uniforme de sa série de Fourier sous forme réelle vers une fonction f sur [-pi,pi] ?

Je crois qu'il y a deux points à vérifier :
1) Faut que la fonction soit périodique. Or, on a bien que quelque soit x appartenant à [-pi,pi], f(x) = f(x+2pi) --> OK.
2) Montrer qu'elle est continûment dérivable par morceaux et continu, ce qui est également le cas, car f est dérivable une infinité de fois et chaque dérivée est continue car on tombe pour chaque dérivée, sur une composée de fonctions continues (cos, sin et exp).

Mais pour le point 2), je ne sais pas s'il suffit et de plus, j'ai trouvé un autre lemme sur internet (lemme de Riemann-Lesbegue) : Si f est une fonction intégrable sur un intervalle [a,b], alors :
http://www.bibmath.net/dico/r/images...nlebesgue1.gif

Ce lemme permet de démontrer la décroissance vers 0 des coefficients de Fourier. Il est particulièrement facile à prouver si f est C1 : par intégration par parties!

Alors il y a convergence uniforme ?? Qu'est-ce qui est correct au final ?
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[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas ta question. Tu veux appliquer un théorème ( Si f est périodique et continue, et si elle est continument dérivable par morceaux sur , alors sa série de Fourier converge uniformément vers f sur ), et tu racontes n'importe quoi :
" Faut que la fonction soit périodique. Or, on a bien que quelque soit x appartenant à [-pi,pi], f(x) = f(x+2pi) --> OK." ?? f n'est définie que pour . Si n'est même pas défini.

Donc il va falloir revenir à du sérieux. Ce théorème ne peut pas s'appliquer. Avant d'aller plus loin, une question : Ta fonction est-elle bien définie ainsi ? Ou bien comme la fonction périodique de période et égale à pour ?
Si ce n'est pas le cas, tu as intérêt à définir la fonction g, périodique de période et égale à pour , montrer qu'elle a la même série de Fourier, et appliquer (en vérifiant tout soigneusement) que le théorème s'applique (ou non).

Enfin, l'existence d'autres théorèmes (par exemple le lemme de Riemann-Lesbegue) ne change rien à la validité des conclusions d'un théorème. C'est évident, non ?

Cordialement.

[Bonnie_-]

Oui, excuse-moi. Je viens de me rendre compte que j'ai en effet écrit de grosses bêtises. Je vais y réfléchir. Merci de me les avoir faits réaliser plus vite.