quotients de factoriel arithmétique

[shiryu27]

Bonjour a tous ,
Alors mon problème est : Montrer que pour tout n dans N (5n)! / n!*40ⁿ est un entier.
je ne comprends pas comment faut faire. j'ai cherché un bon moment et quand je pense avoir trouvé et ben non .
j'ai essayé par l'absurde mais bon je n'y arrive pas.
j'ai essayé en me lancant dans un calcul mais bon evidemment rien du tout...
si quelqu'un peut m'aider svp .
merci
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[phys4]

Bonjour,

Vous constaterez d'abord que n! se simplifie et il reste au numérateur une suite de facteurs de (n+1) à 5n,
Au dénominateur 40ⁿ se décompose en facteurs premiers = 2³ⁿ. 5ⁿ

Il faut donc montrer que la suite de facteurs du numérateur contient au moins 3n fois 2 et n fois 5.
Bonne suite.

[taladris]

Autre méthode possible: la récurrence.

Tu poses . Il est clair que est entier. Pour l'hérédité, tu peux écrire et vérifier que est entier.

Cordialement

[phys4]

Autre méthode possible: la récurrence.

Excellente idée, c'est beaucoup plus simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[shiryu27]

Merci beaucoup a tous. C e fut tres rapide!
la récurrence est vraiment immédiate.