Fonctions continues, C^1 par morceaux

[invitedef78796]

Bonjour à tous,

A l'occasion d'un problème, je suis amené à utiliser la notion de fonctions continues de classe C^1 par morceaux sur un segment (et plus généralement continues et de classe C^k par morceaux).

Selon moi, il s'agit des fonctions f continues pour lesquelles il existe une subdivision (Ak) du segment telles que la restriction de f à ]Ak,A(k+1)[ soit prolongeable en une application de classe C^1.

Mais j'ai quand même un petit doute sur la définition parce que le problème en question utilise le fait que de telles fonctions sont dérivables de dérivées continues par morceaux.
Et je vois pas trop pourquoi elles sont dérivables déjà et de dérivées continues par morceaux en plus.

Si quelque un a la bonne définition et eventuellement un exemple de telles fonctions ça m'aiderait à comprendre .

Merci d'avance.
@+
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[invite50acb955]

pourquoi ne serait elle pas dérivable par morceaux avec les sommes des dérivées

[invitedef78796]

Bonjour à toi,

Qu'elles soient dérivables par morceaux car C^1 par morceaux ça c'est ok.

Je me demandais si elles étaient derivables tout court sur le segment.

Encore merci
@+

[invite50acb955]

salut voisin j'habite pas loin de libourne
Pourkoi ne veu tu pas quel soit dérivable sur le segment ce sont des fonctions comme les autres leur dérivée sera segmentaire

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Bonjour à tous,

A l'occasion d'un problème, je suis amené à utiliser la notion de fonctions continues de classe C^1 par morceaux sur un segment (et plus généralement continues et de classe C^k par morceaux).

Selon moi, il s'agit des fonctions f continues pour lesquelles il existe une subdivision (Ak) du segment telles que la restriction de f à ]Ak,A(k+1)[ soit prolongeable en une application de classe C^1.

Pour moi c'est une fonction telle qu'il existe une subdivision (Ak) du segment telles que la restriction à [Ak,A(k+1)] soit de classe C^1.

[invite50acb955]

donc une fonction segmentaire par subdivision aK

[matthias]

Pour moi c'est une fonction telle qu'il existe une subdivision (Ak) du segment telles que la restriction à [Ak,A(k+1)] soit de classe C^1.

Pareil pour moi.
C1 par morceaux, ça signifie juste qu'il existe une subdivision telle que la restriction à ]Ak;A(k+1)[ soit prolongeable en une fonction C1 sur [Ak;A(k+1)].
Une telle fonction n'est pas nécessairement continue. Si on impose continue on obtient ce que dit GuYem, il n'y a aucune raison pour qu'elle soit dérivable partout.

[invite50acb955]

si puisqu'elle est prolongeable

[invitedef78796]

Pour moi c'est une fonction telle qu'il existe une subdivision (Ak) du segment telles que la restriction à [Ak,A(k+1)] soit de classe C^1.

Hmm, est ce que tu aurais un exemple d'une telle fonction qui ne soit pas C^1 parce que j'arrive pas à y voir très clair. Par exemple la fonction valeur absolue ne marche pas (ce n'est donc pas un exemple ).

Pareil pour moi.
C1 par morceaux, ça signifie juste qu'il existe une subdivision telle que la restriction à ]Ak;A(k+1)[ soit prolongeable en une fonction C1 sur [Ak;A(k+1)].

Oui c'est ce que je voulais dire au début de mon message , on est d'accord.

Une telle fonction n'est pas nécessairement continue. Si on impose continue on obtient ce que dit GuYem, il n'y a aucune raison pour qu'elle soit dérivable partout.

C'est ce qu'il me semblait, mais alors je suis mal parce que dans mon problème ils utilisent explicitement f', ce qui est gênant si elle n'existe pas .

[GuYem]

Pareil pour moi.
C1 par morceaux, ça signifie juste qu'il existe une subdivision telle que la restriction à ]Ak;A(k+1)[ soit prolongeable en une fonction C1 sur [Ak;A(k+1)].
Une telle fonction n'est pas nécessairement continue. Si on impose continue on obtient ce que dit GuYem, il n'y a aucune raison pour qu'elle soit dérivable partout.

J'ai jamais imposé qu'elle soit continue ...

La fonction valeur absolue est C1 par morceaux mais pas C1.

[matthias]

J'ai jamais imposé qu'elle soit continue ...

Pour moi c'est une fonction telle qu'il existe une subdivision (Ak) du segment telles que la restriction à [Ak,A(k+1)] soit de classe C^1.

Si elle est C1 sur [Ak;A(k+1)] et sur [A(k+1);A(k+2)], la fonction est forcément continue en A(k+1) donc c'est implicite dans ta version. Or pour moi une fonction C1 par morceaux n'est pas nécessairement continue (par exemple f(0)=1, et f(x)=0 pour x non nul).

[GuYem]

Si elle est C1 sur [Ak;A(k+1)] et sur [A(k+1);A(k+2)], la fonction est forcément continue en A(k+1) donc c'est implicite dans ta version. Or pour moi une fonction C1 par morceaux n'est pas nécessairement continue (par exemple f(0)=1, et f(x)=0 pour x non nul).

Ah oui! J'aurais du ouvrir d'un coté et fermer de l'autre.

[invitea8d97425]

Hmm, est ce que tu aurais un exemple d'une telle fonction qui ne soit pas C^1 parce que j'arrive pas à y voir très clair.

Tu prend une fonction C1 sur un segment quelquonque que tu prolonges par périodicité sur R par exemple... C'est le genre d'exemples que l'on rencontre avec les séries de Fourier.

Pour la définition, j'ai la même que Matthias.

[invitedef78796]

Ok,

Et bien merci pour toutes vos réponses, je crois que j'y vois plus clair.

Allez @+

[matthias]

Ah oui! J'aurais du ouvrir d'un coté et fermer de l'autre.

Et ce que tu aurait obtenu ne correspondrait pas à la défiition d'une fonction C1 par morceaux (ce serait plus fort). La fonction peut prendre des valeurs quelconques sur les points de la subdivision.