L'ensemble "R barre"

[invitebba56f68]

Bonjour à tous,

Je suis en Terminale S et mon prof de maths, en nous expliquant quelque chose sur les limites, nous a montré un ensemble que je n'avais jamais rencontré auparavant : "R avec une barre au-dessus"
Il nous a dit "celui-là, c'est pas en classe prépa qu'on le voit, mais BIEN PLUS HAUT dans les maths".

IL nous a dit que c'était un ensemble pratique car il inclus + et - l'infini et que ça facilite certaines démonstrations sur les suites et fonctions, notamment sur les limites.

A quoi sert cette ensemble ? Je croyais que R suffisait à englober déjà tout les nombre, non ? C'est quoi les propriétés de cet ensemble ? Les même que R ?

Merci de votre aide pour éclairer ma petite chandelle !
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[Médiat]

Bonjour,
Vous pouvez trouver un hapitre consacré à là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180 dans le chapitre Variations sur la hierarchie algebrique, sous -chapitre Droite réelle achevée.

Les explications ne sont peut-être pas celles que vous cherchez (une bonne occasion de compléter ce chapitre, si vous nous dites ce que vous auriez aimé y trouver), en tout état cause, une recherche sur le net de "Droite réelle achevée", devrait vous permettre de trouver des milliers de références

[invitebba56f68]

Merci à toi pour ton aide !

[invite03f2c9c5]

Bonjour,

Cet ensemble s’appelle la droite numérique achevée. Ça m’étonnerait qu’il ne soit jamais évoqué en classe préparatoire (sans pour autant le formaliser complètement) ; en tout cas, il n’y a rien d’extraordinaire ou de difficile à comprendre. L’idée est d’ajouter deux éléments à , qu'on note et (en d’autres termes, on a ), de façon à pouvoir écrire plus facilement certains énoncés, par exemple sur les limites. Cela ne veut pas dire que et sont de « vrais nombres » au sens où l’on l’entend habituellement (enfin, en mathématiques, on est libre de choisir les définitions qu’on veut, si on veut les appeler des « nombres », à la rigueur pourquoi pas).

Ensuite, on décrète que pour tout (un « vrai nombre », au sens de nombre réel quoi), on a . Une autre façon de voir les choses : est le plus grand élément de (alors que n’a pas de plus grand élément) ; de même, est le plus petit élément de .

Que gagne-t-on à faire cette construction ? Elle a l’avantage de conserver la structure d’ordre de (tout ce qui découle de la relation ), et en particulier ce qu’on appelle sa topologie (disons, pour un élève de terminale, ce qui permet de définir la notion de limite). Et on peut écrire pas mal de choses de façon beaucoup plus économique, sans avoir à distinguer des tas de cas particuliers : pas besoin d’écrire deux définitions différentes pour exprimer le fait qu’une suite tende vers un réel ou vers , par exemple. Ou plus frappant : tu as vu ou verras bientôt, en terminale, qu’une suite croissante est soit non majorée, soit majorée et convergente (c’est-à-dire a une limite réelle) ; dans , une suite croissante est toujours convergente (au sens où elle a toujours une limite, réelle ou infinie), inutile de distinguer deux cas !

Bien sûr, tout cela a un prix. Si conserve les propriétés liées à l’ordre , il perd la structure algébrique de , au sens où certaines opérations ne sont plus définies : on peut certes poser , mais on ne peut pas donner de résultat pour par exemple. Bref, tu retrouves les fameuses « formes indéterminées » ! Et faire des calculs dans est dangereux pour qui n’y est pas habitué (de et , on pourrait être tenté d’en déduire par exemple, ce qui est assez ennuyeux). C’est pourquoi on évite de confier cet ensemble de « nombres » aux débutants.

En résumé, en gagnant un peu de simplicité sur l’ordre et les limites, on perd beaucoup sur la possibilité de faire des calculs (intérêt majeur de ), si bien que je ne suis pas sûr, à un « petit niveau », qu’il y ait vraiment un intérêt à introduire un objet comme . Cela devient vraiment intéressant par exemple pour la théorie de la mesure, la construction de l’intégrale de Lebesgue, et la théorie des probabilités qui en découle ; toutes ces notions sont abordées (en France) en général en troisième année après le baccalauréat, ce qui pourrait expliquer la remarque de ton professeur.

En espérant avoir été accessible pour un élève de terminale (et ne pas avoir réinventé l’eau chaude, car je viens de voir que Médiat a posté un lien dont je n’ai pas lu le contenu pendant que j’écrivais mon message) !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebba56f68]

Merci pour ton explication : claire, précise et abordable à mon niveau !