Etude de y = e^(-1/x)

[invitee60d2acc]

Bonjour,

Je dois étudier la fonction e^-1/x, j'ai déjà déterminé
- Le domaine : R sauf 0
- La parité, ni paire ni impaire
- La dérivée première : y' = e^-1/x/x² ce qui me donne une fonction qui ne fait qu'augmenter
- La dérivée secondaire : y'' = e^-1/x.(1-2x)/x⁴ et cela me me donne concavité vers le bas jusque 1/2 puis concavité vers le haut.

J'ai tenté de trouver les asymptotes, mais je me perds dans les formules. J'ai trouvé une asymptote horizontale ; AHy=1 et pas d'AO donc. Etant donné que j'ai tracé la fonction avec Geogebra, j'ai vu sur le graphique une asymptote verticale, mais impossible de la trouver algébriquement...

Voilà pour les données
Si quelqu'un sait m'aider à trouver la suite, je le remercie d'avance !
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[jamo]

Bonjour
l'asymptote verticale correspond à x=0 ou f n'est pas définie , non ?

[invitee60d2acc]

Effectivement

Donc, j'aurais lim (x->0) e^-1/x= e^-1/0 = +∞ ?

[jamo]

attention à l’écriture 1/0 , il faut raisonner en lim , y a deux limites 0+ et 0-

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee60d2acc]

Je ne comprends pas les 0+ et 0- ? Comment est-ce que je dois les calculer ?

[jamo]

il faut calculer lim -1/x qd x->0+ ( resp x->0-) et lui appliquer expo.

[invitee60d2acc]

Je vais te mettre mon raisonnement, parce que j'ai du mal à comprendre la manière dont tu calcules la limite

J'ai fait : lim(x->0) e^-1/x = e^-1/0 = e^-∞ = 0

Ensuite j'ai regardé la limite à gauche, et à droite ce qui me donne :

lim(x->0^-) f = 0⁺ = +∞
lim(x->0⁺) f = 0⁺ = +∞

C'est comme ça que je l'ai appris, et j'ai l'impression que c'est ce que tu expliques avec 0- et 0+, non ?

[jamo]

lim -1/x quand x->0+ ça donne -oo
lim -1/x quand x->0- ça donne +00
c'est comme ça que j'ai appris y a bien longtemps ( trop même )
je peux me tromper

[invitee60d2acc]

Je comprends maintenant

J'aurais donc : lim (x->0+) e^-∞ = 0 et lim (x->0-) e^+∞ = +∞ ?

[jamo]

y a une demi tangente à droite de zéro . tu ne le vois pas avec Géogebra ?
attends confirmation car là j'ai un doute .

[invitee60d2acc]

Une demi-tangente ? J'ai pris une capture d'une partie de la fonction, est-ce que tu parles de ce que j'ai entouré en rouge ?
Capture.JPG

[essebaai]

Bonjour
pour ne pas tromper chaque fois que vous utilisez les limites a gauche et droite, regarder le produit des signes
car lim(x->0-) est exactemant lim(x->0 et x<0) c-a dire x tend vers 0 de coté négative comme ca on voit facilement que
lim(x->0-) e(-1/x)=lim(x->0 et x<0) e(-1/x)=e(-1/0-)=e(+00)=+00
lim(x->0+) e(-1/x)=lim(x->0 et x>0) e(-1/x)=e(-1/0+)=e(-00)=0
j'aspére que ca peut servire un peut pour votre probléme

[invitee60d2acc]

C'est exactement ce que j'ai trouvé !

[jamo]

Une demi-tangente ? J'ai pris une capture d'une partie de la fonction, est-ce que tu parles de ce que j'ai entouré en rouge ?
Pièce jointe 197831

OUI OUI y a bien une demi tangente comme j'ai écrit .
va falloir que je travaille avec mon Gars qui est en Term S
vous êtes outillé quand même , un coup de calculette et vous avez la courbe , c'est pas juste

[invitee60d2acc]

Ah, tu m'as écrit demi-tangente pourtant ?
L'AV est bonne maintenant ?
Pour l'intersection des axes, je n'en ai pas. C'est normal ?
Et, dernière question, sur la dérivée seconde, j'ai obtenu y"= e^-1/x.(1-2x)/x4 avec un point d'inflexion en (1/2 ; 0,13). Est-ce juste ?
Je te pose le plus de question possible pour être sûr de mon résultat

[invitee60d2acc]

Merci pour ton aide !