DL de 1/1+exp(x)

[invited4841af0]

Bonsoir à tous,
Voilà je m'excuse d'avoir pris de votre temps pour un petit problème pas très difficile à résoudre.
Bon j'arrive pas à trouver une technique pour calculer le DL(0) à l'ordre 3 de x --> 1/1+exp(x). J'avoue que j'avais fait des DL's plus compliqué avec la composition et tout, mais celle-ci ....

Ce que j'ai fait :

1/1+exp(x) = 1/1+Y (avec y = exp(x))
1/1+Y = 1-Y+Y²-Y³+o(y³)
ensuite
Y = 1 + x + x²/2 + x³/6
Y² = 1 + 2x + 2x ² + 2/3x³
Y³ = 1 + 3x+9/2x²+19/6x³

Quand je remplace le tout, je ne tombe pas dans le bon résultat.

Merci à vous
-----

[inviteaf1870ed]

Pour faire un DL de 1/1+x, il faut que x tende vers 0, ce qui ne me semble pas être le cas ici...

[gg0]

Bonsoir.

L'exponentielle ne tend pas vers 0 en 0 toput simplement.

Ici, la formule de Mac Laurin donne assez vite le résultat (les dérivées ne sont pas trop compliquées), mais on peut aussi utiliser la même idée que toi en faisant apparaître un diviseur 1+ f(x) avec f(x) qui tend vers 0. Le plus rapide, me semble-t-il est de faire la division de 1 par puissances croissantes par le DL en 0 de 1+exp(x) (quotients de DL).

Cordialement.

[invited4841af0]

Merci de vos réponses.
Dans ce cas, je procéderai ainsi :
1/1+exp(x) = 1/1+ 1 + x + x²/2 + x³/6 [ avec exp(x) = 1+x+x²/2+x³/6 ]
ensuite je factorise par 2 :
= 1/2 * 1/1+ x/2+ x²/4+ x³/12 = 1/2 * 1/1+Y [ avec cette fois-ci Y = x/2+ x²/4+ x³/6 ]



Merci encore,

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Yep....C'est juste

[invited4841af0]

J'ai trouvé le bon résultat. Merci à vous tous et bonne soirée