Bonsoir à tous,
Voici mon exercice qui me pose problème!
Et la correction :Les codes cycliques sont une des catégories les plus importantes de codes correcteurs. Ils sont caractérisés par deux propriétés :
- ce sont des codes linéaires: la somme (modulo 2) de deux mots-code est encore un mot-code, on peut définir une matrice G de codage et une matrice H de contrôle, etc. ;
- toute permutation circulaire d’un mot-code est encore un mot-code.
Nous allons prendre p, nombre de bits des messages, égal à 4, et n, nombre de bits des mots-code, égal à 7.
Nous allons supposer que Y1 = (1101000) appartient à l’ensemble [Y] des mots-code. Celui-ci est formé de Y1 et de ses permutés circulaires, ainsi que des sommes (mod 2) de ces derniers et de leurs permutés.
a) Combien doit-on trouver de mots-code Y différents ?
b) Etablissez la liste de tous les mots-code de [Y].
Indication : vous devriez trouver facilement un certain nombre de sous-ensembles de [Y], comprenant chacun 7 mots-code qui se déduisent les uns des autres par permutation circulaire. Il vous restera à trouver deux sous-ensembles possédant chacun un seul élément qui se déduit de lui-même par permutation circulaire. Vous expliquerez obligatoirement comment chacun de ces deux derniers éléments peut être déduit d’autres éléments de [Y] par une somme modulo 2.
c) Nous allons considérer de plus que les 4 bits les plus à gauche d’un mot-code Y sont les bits d’information, dans lesquels les 4 bits du message X sont recopiés dans l’ordre. Quelle va être la matrice G correspondant à ce codage ?
Indication : Servez-vous de la liste des Y que vous venez d’établir !
d) Donnez une matrice de contrôle H convenant à ce codage.
e) On a reçu Y’ = (0001110). Quel X* reconstitue-t-on (et comment) ?
Il y a 16 mots-code (autant que de messages).
On trouve 2 sous-ensembles de 7 mots-code se déduisant les uns des autres par permutation circulaire [les permutés de (1101000) et ceux de (1011100) ], auxquels s’ajoutent (0000000) et (1111111), qui forment chacun un groupe de permutation à soi tout seul ; (0000000) s’obtient en ajoutant tout mot-code à lui-même, et (1111111) en ajoutant, par exemple, (1101000) et (0010111) .
Malheureusement je n'ai pas compris cette correction, comment a-t-on déduit qu'il y a 16 mots-codes? La correction a dit que "autant que de messages" pourtant il n'y a que 4 messages, si je ne me trompe pas?
Et pour b) je suis complètement bloqué, comment peut-on trouver les 7 mots codes a partir de Y1 = (1101000) ?? On remplace tous les 0 par 1 et 1 par 0?
J'ai besoin de vos aides!!...
Merci d'avance
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