Formule de trigono

[Meadowlark]

Comment trouve-t-on que

2a²[2cos²(x) - 1] = 2a² cos(2x)

???


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[gg0]

Cos( 2x) = ...

[Meadowlark]

C'est bon j'ai trouvé!

cos²(x) = (1 + cos(2x))/ 2

[yootenhaiem]

Bonsoir,

Je suis sure que tu as trouvé la réponse en cliquant sur: "créer la nouvelle discussion". LOL

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Je suis toujours surpris qu'on connaisse cos²(x) = (1 + cos(2x))/ 2 et pas la formule qui permet de le prouver :
cos(2x)=2cos²(x)-1, conséquence rapide de la formule de cos(a+b).
Il est vrai que les lycéens actuels trouvent superflu d'apprendre, tout en se plaignant de ne pas savoir ...

Cordialement.

NB : Pour un lycéen normal (qui appris les formules de trigo de base) la question initiale ne se pose pas, puisque c'est exactement une formule connue).

[lucas.gautheron]

Bonsoir,

Bonjour.

Je suis toujours surpris qu'on connaisse cos²(x) = (1 + cos(2x))/ 2 et pas la formule qui permet de le prouver :
cos(2x)=2cos²(x)-1, conséquence rapide de la formule de cos(a+b).
Il est vrai que les lycéens actuels trouvent superflu d'apprendre, tout en se plaignant de ne pas savoir ...

Cordialement.

NB : Pour un lycéen normal (qui appris les formules de trigo de base) la question initiale ne se pose pas, puisque c'est exactement une formule connue).

Êtes vous sur que celui qui a appris ses formules de trigo est le lycéen normal ?
Blague à part, le plus important est de pouvoir les retrouver rapidement, si on ne les connait pas par coeur. (pour les formules d'addition c'est très simple avec des complexes, et toutes les autres en découlent)

A+

[gg0]

C'est bizarre,

moi, je croyais que pour reconnaître une formule, il faut au moins l'avoir apprise un peu sérieusement (et éventuellement un peu oubliée).
L'imbécile sait que la connaissance est dans les livres (et aujourd'hui sur le net). Mais comme il ignore ce qu'il devrait savoir, il ne sait même pas qu'il l'ignore !
Le sage a beaucoup appris, sais qu'il ne sait pas grand chose, mais sait comment retrouver ce dont il a besoin (donc l'a essentiellement appris).

Le refus du "par coeur" n'est pas la voie vers la sagesse.

Cordialement.

NB : J'ai retrouvé certaines formules de trigo alors même que je les enseignais chaque année. mais je les avais apprises à une époque, et j'étais capable de ce fait de savoir si mon calcul de tête était le bon ou pas. Retrouver une formule fausse n'a aucun intérêt !

NBB : j'ai même connu quelqu'un qui "retrouvait " sin² x+ cos² x=1 à partir des formules de linéarisation de sin² x et cos² x (J'apprends les formules difficiles, mais pas les bases !!!)

[Meadowlark]

Comment tu fais pour retrouver cos(2x) = 2cos²(x) - 1 avec la formule cos(a+b) ?

[gg0]

En fait, il y a trois formules utiles sur :

Toutes se révèlent agréables à utiliser, suivant les circonstances. Des deux dernières on tire les formules de linéarisation des carrés, entre autre, de même qu'on tire les formules de linéarisation des produits des formules d'addition.

Cordialement.

NB : pour un scientifique ou un étudiant en sciences ou ingénierie, connaître bien la trigo et ses formules est une vraie nécessité.

[ericcc]

Je suis de la même génération que gg0, et les formules que j'avais apprises au Collège sont restées gravées dans ma mémoire (à l'exception de celles qui transforment les produits en sommes). C'est comme les tables de multiplication : il faut les connaître par coeur, et en plus les comprendre !
Un lien bien utile : http://folium.eu.org/divers/form_tri/form_tri.html

[invite76543456789]

Bonjour,
Bof je suis pas vraiment d'accord avec l'interet d'apprendre par coeur. Personnellement je pense qu'il n'y a aucune formule que je connais par coeur. Et pour la trigo, vu comment l'exponetielle complexe permet de toutes les retrouver quasi instantanément, je vois pas bien l'interet. Vaut mieux se concentrer sur ce qui est important. Virtuellement en maths, y a besoin de rien apprendre.

[gg0]

MissPacMan,

tu donnes la réponse des très bons matheux qui n'apprennent rien par coeur parce qu'ils retiennent tout ! Ceux qui sont comme toi ne peuvent pas réaliser la difficulté à travailler de ceux qui comprennent puis oublient (donc sont obligés soit d'apprendre de n'importe quelle façon, soit de faire un gros effort pour réimaginer ce qu'ils avaient facilement compris), ni l'impossibilité pour ceux qui ne comprennent pas vite de savoir faire s'ils ne font pas cet effort d'apprentissage.

Le mot "par coeur" t'induit peut-être en erreur : Il ne s'agit pas de répéter bêtement jusqu'à ce que ce soit imprimé dans la mémoire, activité intellectuellement débilitante. Mais de savoir vraiment.

Moi qui ai vécu à diverses époques les deux situations que je présentais au début (sans ordre chronologique, ça dépendait des années), j'ai par exemple eu à côté de ma table de travail des formulaires de trigo, de dérivées, de primitives, de façon à souvent les lire et relire, pour les retenir (j'ai un vrai problème pour les formules qui se ressemblent ,comme celles de trigo).

Et ne crois pas que c'est de la fainéantise : On a des capacités d'apprentissage rapide très variables, aussi variables que nos capacités physiques. Je l'ai vu dans le groupe théâtral que je mettais en scène : Une actrice savait son rôle en quelques semaines, un autre avait besoin de plusieurs mois. le deuxième jouait cependant bien mieux !

Cordialement.

[lucas.gautheron]

Bonjour,
Bof je suis pas vraiment d'accord avec l'interet d'apprendre par coeur. Personnellement je pense qu'il n'y a aucune formule que je connais par coeur. Et pour la trigo, vu comment l'exponetielle complexe permet de toutes les retrouver quasi instantanément, je vois pas bien l'interet. Vaut mieux se concentrer sur ce qui est important. Virtuellement en maths, y a besoin de rien apprendre.

Voilà, entièrement d'accord.

A+

[gg0]

Tant mieux pour toi, si tu sais sans apprendre.
Mais c'est un mauvais conseil de dire à des lycéens ou étudiants : n'apprenez pas vos cours, vous retrouverez facilement les formules.

Si Zidane me dit "C'est facile le foot, t'a qu'à faire comme moi", je rigole ! ou je pleure, mais je ne le crois pas.

A noter : Meadowlark ne la retrouvait pas, cette formule si facile à retrouver. Vous lui conseillez de ne pas apprendre ?

Cordialement.

[invite76543456789]

A noter : Meadowlark ne la retrouvait pas, cette formule si facile à retrouver. Vous lui conseillez de ne pas apprendre ?

Cordialement.

S'il n'arrive pas a retrouver la formule, c'est qu'il y a qqch en amont qu'il n'a pas compris, je lui conseillerai plutot de reprendre son cours, de mettre le doigt sur ce point precis, et de le dénouer, mais pas d'"apprendre la formule". Pour le coup j'autorise toujours les documents lors des controles à mes etudiants. Et ca change rien, ce qui ont compris restent bons, ce qui n'ont pas compris ne s'en sortent pas, meme avec toutes les formules qu'ils veulent sous les yeux.
Je crois que quand on ne sait pas qqch, c'est pas un probleme de quantité de connaissances, mais un probleme de compréhension qu'il y a quelque part.

[gg0]

J'ai cru ça longtemps.

Pour les étudiants actuels, la compréhension d'un calcul élémentaire demande tellement de connaissances préalables à comprendre (tout ce qu'ils n'ont pas compris depuis la sixième, voir avant) que ton discours n'a pas de sens.
Le fait d'avoir un formulaire ne remplace pas la connaissance des formules. En l'apprenant (de la façon qui convient à l'apprenant) on en fait un élément stable, quelque chose sur lequel s'appuyer. Tes étudiants qui n'y arrivent pas malgré tous les documents qu'ils ont ne comprennent rien aux documents. Leur dire "il suffit de comprendre" ne fait que les confirmer dans l'idée qu'il est inutile de travailler.

A noter : Meadowlark ne la retrouvait pas, alors qu'il l'avait probablement vue un jour en cours, et probablement comprise : Il a eu compris l'explication du prof, il n'en a pas fait ni son explication, ni sa formule : Il ne la connaît plus.

Cordialement.

NB : Exclamation d'un élève de première (il y a quelques années) : "Mais alors c'est facile la trigo, il n'y a qu'à savoir les formules !".

[invite76543456789]

Il y aurait beaucoup à dire la dessus.
S'il y a des lacunes enormes quel interet d'empiler encore des choses dessus? Aucun!
Pour le coup je comprend pas bien la suite de votre raisonnement, avoir un formulaire est rigoureusement equivalent à apprendre les formules (les formules correctes sont à disposition), et c'est bien pour cela que je dis que cela ne sert pas à grand chose.
Par contre je n'ai jamais dit qu'il n'y avais pas besoin de travailler! J'ai dit qu'il n'y avait pas besoin d'apprendre. Et c'est bien different à mon sens. Par contre comprendre demande du travail, beaucoup de travail même.
Dans tous les cas quand on a compris parfaitement qqch (et je veux dire vraiment en profondeur) j'ai pas l'impression qu'il y ait besoin de rajouter qqch (en terme d'apprentissage) et pas de "mémorisation" superflu.

Pour prendre un exemple concret, la formule cos(2a)=2cos²(a)-1, je ne l'ai jamais apprise, c'est a force de l'utiliser qu'elle est restée (un peu comme mon prenom) quant aux autres je ne les connais pas "comme ca" (dans le sens où je suis pas capable de ressortir la formule cos²(a)=(1+cos(2a))/2, sans faire quelques secondes de manipulations dans ma tete). Qqun qui ne voit pas qu'il peut déduire la formule de cos(2a) en fonction de cos²(a)-sin²(a), alors qu'il connait la formule cos(2a)=bla bla, alors ca sert à rien qu'il continue, y a qqch en amont qu'il a raté et qu'il doit reprendre, et apprendre la formule ne le sauvera pas.

[gg0]

Finalement, tu passes beaucoup de temps à apprendre les formules (à les lire pour les appliquer, à les retrouver à partir d'autres que tu connais, à en parler ...), mais tu es choquée (comme beaucoup, car c'est une mode de s'opposer à l'apprentissage) quand on dit qu'il faut le faire.

Ce qui m'amuse, c'est que moi aussi je retrouve les formules de linéarisation à partir de celles qui précèdent. Alors que je les ai enseignées pendant 35 ans, au moins une fois par an, parfois 3 ou 4.

Mais on a bien besoin de savoir. Cependant, la mode actuelle est de combattre la mémorisation (le "par coeur") au prétexte que dire sans comprendre est malsain. Mais ne pas comprendre parce qu'on ne sait pas est encore plus malsain. Sans connaissances, pas d'intelligence (je le vis régulièrement avec mon beau père, qui perd peu à peu la mémoire, mais par éclairs est très futé quand il n'y a presque pas besoin de souvenirs et arrive parfois à cacher ses pertes de mémoire en inventant).

Je suis d'accord avec :
"Dans tous les cas quand on a compris parfaitement qqch (et je veux dire vraiment en profondeur) j'ai pas l'impression qu'il y ait besoin de rajouter qqch (en terme d'apprentissage) et pas de "mémorisation" superflu."
C'est une évidence, et c'est ce que j'appelle avoir appris par coeur !
Quoique !! Je connais des comptables qui ont mal appris les tables d'addition (on peut compter sur les doigts) et sont gênés quand il faut additionner rapidement à la main. Le "par coeur" leur manque. Et une institutrice qui a appris ses tables de multiplication parce qu'il fallait les enseigner (elle a fait de la bête répétition) et a alors découvert le plaisir de faire les exercices de maths de collège qui lui causaient tant de soucis quand elle était collégienne.
On admet qu'un pianiste fasse des gammes, qu'un athlète fasse du fractionné, pourquoi le travail intellectuel serait-il le seul à n'avoir jamais besoin de répétition ?

Cordialement.

[invite76543456789]

Finalement, tu passes beaucoup de temps à apprendre les formules (à les lire pour les appliquer, à les retrouver à partir d'autres que tu connais, à en parler ...), mais tu es choquée (comme beaucoup, car c'est une mode de s'opposer à l'apprentissage) quand on dit qu'il faut le faire.

Mais non, je ne passe pas la moindre seconde à apprendre (par coeur) mes formules , et ca n'est pas question de mode, c'est juste qu'en maths on a la chance (ou la malchance c'est selon) que la seule chose qu'il y a besoin de savoir faire, c'est reflechir.
Apres peut etre que nous disons la meme chose, mais je trouve bizarre votre vocable d'"apprendre", je dis justement qu'on progresse pas en apprenant, mais en faisant, ce qui est bien different.
Exemple: On peut donner à un eleve la formule cos(a+b) et lui dire voila, déduis en la formule d'addition sin(a+b), déduis en les formule de cos(2a), déduis en les valeur remarquables des cosinus et sinus (en pi/2,3,4 par exemple), prouve que cette formule est compatible avec la "notation" exponentielle etc...
A l'opposé on peut lui donner la liste de toutes les formules cos(a+b), cos(a-b), sin(a+b), sin(a-b), cos(pi/3), sin(pi/3) etc etc... et il peut apprendre tout cela.

Dans le premier cas il aura fait des maths (et à force connaitra les formules principales, et aura progressé, en maths, a mon avis c'est en séchant qu'on progresse) dans le second cas, c'est une perte de temps et de mémoire (au fond ces formules on s'en fout, le but c'est juste de faire de jolis choses avec).

Mais on a bien besoin de savoir. Cependant, la mode actuelle est de combattre la mémorisation (le "par coeur") au prétexte que dire sans comprendre est malsain. Mais ne pas comprendre parce qu'on ne sait pas est encore plus malsain.

Je ne trouve pas ca "encore plus malsain", tout dépend de l'objectif que l'on se donne.

Je suis d'accord avec :
"Dans tous les cas quand on a compris parfaitement qqch (et je veux dire vraiment en profondeur) j'ai pas l'impression qu'il y ait besoin de rajouter qqch (en terme d'apprentissage) et pas de "mémorisation" superflu."
C'est une évidence, et c'est ce que j'appelle avoir appris par coeur !

Nous sommes d'accord donc! Juste une question de vocabulaire.

On admet qu'un pianiste fasse des gammes, qu'un athlète fasse du fractionné, pourquoi le travail intellectuel serait-il le seul à n'avoir jamais besoin de répétition ?

Cordialement.

Ah mais il y a des gammes à faire! Mais ces gammes ne sont pas "répétitives" elles consistent à manipuler une notion, pour la voir en action sous plusieurs angles, pas refaire le meme exercice (déguisé ou pas).

[gg0]

Bon, inutile d'aller plus loin : tu retombes sur ce à quoi j'ai répondu lors de ton premier message : Tu prônes ta façon de mémoriser en partant du principe que c'est la bonne puisqu'elle marche pour toi.

Garde tes illusions si tu veux, mais ne t'étonne pas qu'une partie de tes étudiants ne puissent pas te suivre.

Cordialement.

NB : le débat "par coeur" contre "comprendre" est un faux débat, mais tu y es sans arrêt revenue.

[invite76543456789]

Comme vous voulez, je ne prone pas ma façon de mémoriser, comme je vous ai dit je ne mémorise pas (ce qui ne veut pas dire que je ne mémorise rien). Bref.

Je ne m'étonne pas qu'une partie de mes etudiants ne puisse pas suivre, malheureusement tout le monde n'est pas fait pour faire des maths.

[invite0f0afca1]

Bonjour,
Bof je suis pas vraiment d'accord avec l'interet d'apprendre par coeur. Personnellement je pense qu'il n'y a aucune formule que je connais par coeur. Et pour la trigo, vu comment l'exponetielle complexe permet de toutes les retrouver quasi instantanément, je vois pas bien l'interet. Vaut mieux se concentrer sur ce qui est important. Virtuellement en maths, y a besoin de rien apprendre.

Salut,

Oui, il suffit de connaitre tous les axiomes, et le reste coule de source

[pallas]

cela correspond aux formules de duplication
de meme a savoir sin 2x = 2sinx cos x et tan2x = ( 2tanx)/( 1-tan²x)

[azizovsky]

Bonjour , c'est bizzare qu'un cultivateur aprés un travail acharné( le terme secher vient du mathématicien Alain.C) laisse sa récolte se perdre sans la stocker sauf s'il n'a pas les moyens (mémoire) .

[azizovsky]

puisqu'on ai dedant démonter que : si 0 \<x \<1 : [1+tg²(y/2)]x² - 2x.tg(y/2) = 0 avec y=arcosV(1-x²) avec V ( racine carré) . (sort diréctement de la mémoire)

[gg0]

Bonjour.

Pour x=0, ton assertion est évidente. Pour x différent de 0, on peut tirer x de chacune des deux égalités et montrer qu'elles sont équivalentes. Je te laisse faire le travail, c'est ton problème.

Cordialement.

[azizovsky]

je n'ai aucun problème , c'est ma propre équation (je l'ai démontré il y'a plus de 15 ans ) .( il vient d'un problème de physique que j'ai conçu...) .

[gg0]

Alors aucun intérêt pour moi.

[azizovsky]

les maths pour moi n'est qu'un outil non pas un but .

[azizovsky]

Bonjour.

Pour x=0, ton assertion est évidente. Pour x différent de 0, on peut tirer x de chacune des deux égalités et montrer qu'elles sont équivalentes. Je te laisse faire le travail, c'est ton problème.

Cordialement.

ce n'est q'un simple exemple où la mémoire est indispensable (3 ou 4 relation trigonométrique ) .