calcul d'une intégrale complexe

[parousky]

Bonjour, on me demande de calculer la transformée de Fourier de f(t) = 1/(a²+t²) où a est un réel.
Alors d'abord je veux calculer l'intégrale complexe de f(z) sur le cercle de centre O et de rayon r. Cette fonction a deux pôles a.i et -a.i, et je serai partant pour faire l'intégrale sur tout le cercle en incluant les deux pôles. La transformée de Fourier dépend du paramètre v.
Mais dans la correction, il font d'abord l'intégrale sur le demi-cercle contenant i.a pour v<0 et sur l'autre demi-cercle contenant -i.a pour v>0, alors je voulais juste savoir, pourquoi ?! Comment sait-on si on doit faire deux cas pour calculer une transformée de Fourier ?
Merci pour vos réponses !
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[0577]

Bonjour,

pourquoi veux-tu calculer "l'intégrale complexe de f(z) sur le cercle de centre O et de rayon r" ?
La question de depart est de calculer la transformee de Fourier de f, ce qui est definit par une integration sur
l'axe reel (mais pas de f ...). Une maniere commode de calculer cette integrale est d'integrer sur un lacet
dans le plan complexe, as-tu compris pourquoi ?

[parousky]

Je pensais l'intégrer sur ce cercle dans le plan complexe pour faciliter les calculs et utiliser simplement le théorème des résidus...

[0577]

Bonjour,

en effet, calculer une integrale sur un lacet dans le plan complexe est facile en
utilisant le theoreme des residus.
Mais en quoi le fait de calculer une integrale sur un lacet dans le plan complexe permet-il de calculer
une transformee de Fourier qui est par definition une integrale sur l'axe reel ?


PS : je fait expres de poser des questions dont je connais la reponse ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[parousky]

Bonjour,
dans la question, on me demande d'utiliser le théorème des résidus, mais même hors exercice, il me paraissait beaucoup plus simple d'utiliser le théorème des résidus. Car l'intégrale sur l'axe réel n'étant pas évidente du premier coup d’œil, je voulais utiliser le théorème des résidus et après le lemme de Jordan pour obtenir mon intégrale sur l'axe des réels.
Ma première question était, si l'on est obligé d'utiliser le théorème des résidus, pourquoi choisir des circuits différents pour v<0 et v>0 ?
Ensuite, peut-on toujours utiliser le théorème des résidus ? Et enfin, à quelle méthode pensais-tu pour calculer la transformée de Fourier de f ? ( Je préfère poser plus de questions que pas assez ! )

[0577]

Bonjour,

je veux aussi utiliser le theoreme des residus : tu as repondu a ma question en citant le lemme de Jordan;
si on integre sur un tres grand demi-cercle union son diametre sur l'axe reel, integrale qu'on sait calculer par le theoreme des residus, on
a une contribution qui vient de l'axe reel (qui est l'integrale qui nous interesse dans la limite ou le rayon devient infini)
et une contribution qui vient du demi-cercle qui s'annule dans la limite ou le rayon tend vers l'infini si on peut appliquer
le lemme de Jordan. Donc, il faut verifier les hypotheses du lemme du Jordan, en particulier il faut que la fonction qu'on integre
tende vers 0 suffisamment vite "a l'infini".
Dans notre situation, notre fonction contient un dont le comportement dans la limite Im z tend vers l'infini
depend fortement du signe de v (dans un cas ca decroit exponentiellement, dans l'autre cas ca croit exponentiellement).
Pour v fixe, il n'y a qu'un seul des demi-cercles superieur/inferieur pour lequel l'hypothese du lemme de Jordan est verifiee.

[parousky]

A oui d'accord je vois bien maintenant ! Le signe de v n'intervient que lors de l'utilisation du lemme de Jordan. Pour etre certain de ce que je sais, supposons que f possède a comme pôle ( en écrivant f(x) telle que P/Q(x)). Si Sup((z-a)*f(z)) tend vers 0 (pour z élément du cercle de rayon r) lorsque r tend vers l'infini, alors l'intégrale de f sur le cercle de rayon infini est nulle, c'est bien cela ?