Optimisation particulière

[julien_4230]

Bonjour,

Je cherche à minimiser la fonction

F(j) = Sqrt( somme sur i (yij - bi)^2 )

Je connais la séquence (yij), mais pas les constantes (bi).

Existe-i-il un truc du genre "moindres carrés généralisées" ?

Merci à vous !
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[gg0]

Bonjour.

On peut se débarrasser de la racine carrée puisqu'elle est croissante. Reste à optimiser une somme de carrés. Le j me surprend un peu, car il ne sert à rien. je suppose qu'il provient d'un contexte, mais pour la réflesion, il est momentanément inutile.
Donc tu veux, connaissant une suite finie , minimiser la quantité :

en choisissant les convenables.
la réponse est immédiate : et le minimum est

Cordialement.

[gg0]

Bien entendu, si le problème est autre, il y aura d'autres possibilités. Par exemple si tu connais les pour i variant de 1 à n et j variant de 1 à k, et que tu veut en fait minimiser

la situation est différente.

J'aurais tendance à prendre pour la moyenne des , ce qui minimise des sommes partielles, mais je ne sais pas si c'est la meilleure méthode. On traite souvent ce genre de question avec les méthodes classiques d'optimisation. ici utiliser les dérivées partielles pour trouver un extrémum pourrait convenir. mais je n'en ferais pas le pari.

Cordialement.

[gg0]

Une dernière idée :

Les statisticiens optimisent comme je l'ai proposé (moyennes partielles) parce que les sont distribuée Normalement (répartition gaussienne) dans les cas où ils rencontrent cela (théorème de Cochran).

[A voir en vidéo sur Futura]

[julien_4230]

Bonjour,

Merci de votre réponse ! Je vais mieux poser le problème.

Soit une variable discrete (que l'on peut rendre continue, pas de problème). Je veux minimiser la fonction (les sont les constantes à trouver) :

,

et plus généralement :

,

pour . Pour cela, vous proposer un problème de Lagrange sans contrainte ?

Sinon, numériquement, si je fais varier chacun de mes paramètre , vais-je trouver un "meilleur 0 de f(s)" qu'un autre ? (ok pour la racine qu'on enlève)

Merci !

[gg0]

Tu as complétement changé de question !

Toujours la même remarque sur la racine carrée. Le reste est de l'optimisation, je laisse un spécialiste répondre.

Cordialement.

[julien_4230]

Je précise que les , sont connus.

[gg0]

Ce qui est connu, ce sont les j'imagine. Sinon, la notation f(s) n'a aucune utilité. Mais passer d'un problème de constantes indicées à un problème de fonction change complétement la situation !

[julien_4230]

Eh bien voilà le problème ....

[julien_4230]

Une solution numérique me convient (avec R par exemple...)