équation exposants

[merguez833]

J'ai besoin de résoudre dans un exo
J'ai remplacé les par des
mais je ne m'en sors pas
si vous avez une idée...

Merci!
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[iamkepl]

Tu as déjà une solution triviale ...
(et normalement c'est

[merguez833]

euh oui j'ai confondu sur mon post mais pas sur ma feuille ^^

Oui x=2, mais j'essaie de la résoudre rigoureusement

[iamkepl]

Peut-être est-ce faisable en prouvant l'unicité de cette solution.

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Étudier ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jedoniuor]

Bonsoir,
Voici sauf erreur de ma part une possibilité:

1) Pour x<0$, posez y=-x, ce qui donne (5/4)^y+(5/3)^y=1, qu'il est facile de voir impossible si y>0.

2) Pour x positif ou nul, posez f(x)=5^x-4^x-3^x. La dérivée $n$-ième de f est (log 5)^n 5^x-(log 4)^n4^x-(log 3)^n3^x. On a pour $x$ positif ou nul f^{(n)}(x) supérieur ou égal à ((log 5)^n -(log 4)^n-(log 3)^n)5^x
=f^{(n)}(0)5^x. Pour $n=0,1,2, la dérivée n-ième en 0 est <0. Pour n=3, elle est >0. Donc la dérivée troisième est strictement positive, la dérivée seconde est croissante, et comme sa valeur en 0 est négative, elle s'annule en un a>0 (on n'a pas besoin de connaitre a). Faites des petits tableaux de variations pour la dérivée puis pour $f$, et concluez.

Cordialement.

[iamkepl]

@ Jedoniuor : J'ai mal compris votre 1). On a .

@merguez833 : Avez-vous besoin d'une astuce supplémentaire ?

[Jedoniuor]

Bonsoir

@iamkepl: On a posé x=-y$, de sorte que $y>0$. On a donc $5^{-y}=4^{-y}+3^{-y}$, d'où en multipliant par $5^y$ $1=(5/4)^y+(5/3)^y$, impossible car les deux termes sont $>1$.

Je n'ai pas compris votre question à merguez833 ?

Cordialement.

[iamkepl]

Ah oui j'avais oublié que vous posiez dès le départ, je vous prie de bien vouloir m'en excuser.

Je lui demandais s'il avait compris mon astuce ou s'il avait besoin que je développe comme vous l'avez fait.

[merguez833]

Merci pour votre aide!
J'ai étudié , dit qu'elle était strictement décroissante et continue sur R+ où elle prend comme valeur 2 en 0 et tend vers 0 en l'infini, ce qui montre qu'il n'y a qu'une solution pour f(x)=1. Ensuite j'ai dit que 2 était une solution, et donc ici, la seule solution. Voila j’espère que c'est juste, vous en pensez quoi?

[iamkepl]

C'est juste (en tout cas, c'est ainsi que j'avais procédé).