Complexes : étude de l'argument d'un cosinus

[invitee333494d]

Bonjour à tous,

Je bloque dans un exercice sur les complexes et j’espère trouver de l'aide sur ce forum

Le but de l'exo (en bref) est de prouver que les points d'affixes (1+z₁)^n, (1+z₂)^n,......, (1+z_n)^n sont alignés avec z_i les solutions de z^n=a. a appartient à U (les racines de l'unité) et n est un entier naturel.

Voici ce que j'ai commencé :

a=exp(ix) avec x élément de R.

D'où
avec k entier naturel variant de 0 à k-1.

Je réinjecte dans (1+z)^n et en factorisant avec des exponentiels je trouve :



En passant à l'argument on a :



Ceci est congrus à "x/2 + l'arg du cos".

Voila où je bloque, si j'arrive à prouver que cette argument est constant, c'est bon, les points sont alignés. Mais pour cela il faudrait prouver que ce cosinus est positif, pour tout k...

Si quelqu'un a une idée je suis preneur

Merci d'avance !!
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[gg0]

Bonjour.

Si n est pair, c'est bon, mais pour n impair, comme on va avoir des angles régulièrement répartis, le cos sera parfois positif, parfois négatif.

Mais ton argument est soit 0 soit et tu travailles à près, non ?

Cordialement.

Nb : Je te fais confiance pour les calculs.

[invitee333494d]

Effectivement tu as raison que le cos soit négatif ou positif, on s'en fout, tant qu'il est réel, son arg est soit pi soit -pi, donc à pi près ça ne change rien !

Merci