Element maximal et plus grand élément..

[Bloupies]

Bonsoir

J'ai du mal à réussir à différencier les deux , et surtout quand savoir qui sont-ils...

J'ai la définition ici : Un élément a de P est un élément maximal si a majore dans A tout ceux qui lui sont comparables
Le plus grand élément de P est l'élément a de P tel que a[smb]appartient[/smb]P,, pour tout x appartenant à P , x[smb]infegal[/smb] a

Les éléments maximal et minimal sont valables seulement lorsque l'ordre n'est pas totalement ordonée ? Donc quand il est partiel ?

Des exemples corrigés :

1) E = {1,2,3,5,6,10,15,30} , Relation = divise ( ce sont des diviseurs de 30)

Si P=(2,3,5,10) , on a comme élément maximal 10 et 3 éléments minimaux (2,3,5)
On a pas de plus grand élément ni de plus petit élément

Si P={2,5,10) , on a 10 comme élément maximal et (2,5) comme élément minimal
On a 10 comme plus grand élément et aucun plus petit élément

Si j'analyse un peu , je vois que le plus grand élément est là si seuelement le plus grand est comparable avec tous , par exemple dans P={2,5,10) , on a 10 comme plus grand élément car 2 et 5 divise 10 , par contre dans P=(2,3,5,10) , il ne l'est pas car il n'est pas comparable a 3
De même pour 2 , j'en déduis qu'il n'est pas le plus petit car il ne peut pas diviser 3 ..

Donc est ce que quelqu'un pourrait m'aider une bonne fois pour toute car cela fait plusieurs jours que je confonds , et je m'embrouille de plus en plus : Quand dire plus grand élément , element maximal , quand peut il en avoir plusieurs ..

J'accepterais avec joie vôtre aide qui me ferait comprendre cela ..
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[Seirios]

Bonsoir,

Pourtant, il me semble que tu as bien compris : Le plus grand élément est un élément maximal, mais la réciproque peut être fausse lorsque l'ordre est partiel (lorsque l'ordre est total, les deux définitions sont équivalentes) ; par exemple, si j'ordonne {2,4,8,7} avec la division, 8 et 7 sont des éléments maximaux mais il n'y a pas de plus grand élément. Par contre, s'il y a un plus grand élément, alors il n'existe qu'un seul élément maximal qui est précisément cet élément maximal.

[Bloupies]

Donc par exemple , dans {2,4,8,7} , 8 et 7 sont les éléments maximaux mais aucun plus grand élément car par exemple 8 ne peut pas être divise par 7 ou vise versa ?
Dans {2,4,8,16} , 16 est le plus grand élément et donc le seul élément maximal ?

Concernant les éléments minimaux , dans {2,4,8,7} , ça serait 2 et il n'y a pas de plus petit élément ( car 2 ne divise pas 7)
et dans {2,4,8,16} , le plus petit élément est 2 et et le seul élément minimal ?

Je m'embrouille ou bien ?

[Seirios]

C'est tout à fait correct

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bloupies]

Je me suis re-perdu..Je n'y arrive vraiment pas sans définition certifié pouvant s'appliquer à tous les cas..

[Bloupies]

Apparemment , dans 2,4,87 , 2 et 7 sont des éléments minimaux ..

[gg0]

Je n'y arrive vraiment pas sans définition certifié pouvant s'appliquer à tous les cas..

Tu les as les définitions certifiées, tu les as citées dans ton premier message. A toi de t'en servir ...

[Bloupies]

Merci pour les définitions

Donc je reprends :

En faite un élément maximal , ça serait un élément qui lorsqu'il divise quelque chose , cela soi lui même c'est ça ? je veux dire que s'il divise autre chose que lui même , c'en est pas 1 .

Donc pour P=(2,3,5,10) , 3 et 10 sont des éléments maximaux
Pour P=(2,4,8,16)=16 le serait ?
Pour P=(2,4,8,7)=ce serait 8 et 7 ?

Pour trouver un plus grand élément , il faut que tout élément puisse le diviser
donc dans P=(2,3,5,10) , il y'en a pas
P=(2,4,8,16) , c'est 16
dans P=(2,4,8,7) il n'y en a pas ?

Est-ce juste ?
Dans ce cas , quel serait les définitions de plus petit élément et élément minimal ?

[gg0]

C'est juste.

pour plus petit élément et élément minimal , tu inverse le sens de l'inégalité (mais n'est-ce pas évident ?)

[Seirios]

Apparemment , dans 2,4,87 , 2 et 7 sont des éléments minimaux ..

Effectivement, j'aurais dû être plus attentif à ce que tu avais écrit. 7 n'est en effet comparable à aucun autre élément de l'ensemble, donc c'est à la fois un élément minimal et un élément maximal.

[Bloupies]

Merci de vôtre aide à vous deux

Donc j'ai plus ou moins refait tout juste avec les définitions , voilà ce que ça donne :

Relation : a divise b

a) P={2,3,5,10}(ordre partiel)

-Elements maximaux : 3 et 10
-Elements minimaux : 2 et 3 et 5
-Plus grand élément : aucun
-Plus petit élément : aucun

b) Dans P={2,4,8,7}(ordre partiel)

-Element maximaux : 8 et 7
-Elements minimaux : 2 et 7
-Plus petit élément :aucun
-Plus grand élément :aucun

c) Dans P={2,4,8,16}(ordre total)

-Elements maximaux : 16(plus grand élément)
-Element minimaux :2(plus petit élément)
-Plus grand élément : 16
-Plus petit élément :2

d) Dans P={2,4,6,8}(ordre partiel)

-Element maximaux : 6 et 8
-Elements minimaux :2(plus petit élément)
-Plus petit element = 2
-Plus grand element = aucun


Par ailleur , si on aurait E = {1,2,3,5,6,10,15,30}, ensemble des diviseurs entiers de 30, et que l'on voudrait savoir les majorants/minorants , tu penses quoi de ça :

a)
Majorant : 30
Minorant : 1

Et pour le reste pas faisable non ? Car il y a des éléments qui ne divisent pas E , qui ne lui sont pas comparable ?
Est-ce bien pour cette raison ?

[Seirios]

Par ailleur , si on aurait E = {1,2,3,5,6,10,15,30}, ensemble des diviseurs entiers de 30, et que l'on voudrait savoir les majorants/minorants , tu penses quoi de ça :

a)
Majorant : 30
Minorant : 1

Si tu considères E isolé, alors les notions de majorants et de minorants coïncident avec les notions de plus grand et de plus petit éléments (qui sont donc 30 et 1) ; si tu considères E inclus dans l'ensemble des entiers naturels non nuls, alors les majorants de E sont les multiples de 30 et il n'y a qu'un seul minorant, 1.