Image d'un fermé par un polynôme

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je cherche à montrer que l'image de tout fermé de par un polynôme de est fermé ; je pense avoir trouver la solution, mais comme je ne veux pas regarder la solution de mon corrigé sans savoir si ce que j'ai fais est correct ou non, j'aimerais avoir confirmation (ou non) de mon raisonnement (mais s'il est faux, ne me mettez pas sur la piste, je chercherai à faire autrement) :

Soient F un fermé de , (de degré n) et convergeant dans .

On peut écrire , avec . Distinguons deux cas :

Si est bornée, introduisons ; alors est fermé et borné, donc compact. P étant continu, est compact (donc notamment fermé) et converge dans .

Si n'est pas bornée, alors ; mais , donc ne peut pas converger dans .

Au final, on a montré que si converge dans , alors elle converge dans P(F), donc P(F) est fermé.

Voyez-vous une erreur de raisonnement ?

(Je le répète, si c'est le cas, ne me mettez pas sur la bonne voie )

Merci d'avance,
Phys2
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[Thorin]

Salut,
lorsque que quelqu'un écrit

Si n'est pas bornée, alors

on se demande si ce quelqu'un trouve qu'il est trivial de montrer que dans ce cas précis, non borné implique tendre vers l'infini ; ou si ce quelqu'un pense que dans le cas général, toute suite non bornée tend vers l'infini (ce qui est faux)

[Seirios]

En fait, au moment où j'ai écrit ça, je pensais que c'était toujours vrai Bien sûr c'est faux, mais on a , et on peut extraire une sous-suite telle que . A partir de là, il est impossible que converge dans (sinon la sous-suite en ferait de même).

C'est mieux ?

[indian58]

Ca me fait rappeler qu'il y a pas mal de temps, j'avais posté dans les classiques parmi les classiques ce problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Donc ce que j'ai écrit est bien correct ?

[mx6]

Salut Phys2,

Il me semble que c'est correct !

[Seirios]

Un petit oubli tout de même : il faut considérer le cas (immédiat) du polynôme constante

[Clauclo]

Désolé de déterrer un peu le sujet, mais quelqu'un peut m'expliquer où le fait que F soit fermé intervienne ?

[Seirios]

Cela intervient pour montrer que : on a , puis en prenant l'adhérence, .

[Clauclo]

Merci tout s'explique !

[Snowey]

Salut Seirios,
je n'ai pas encore vu la compacité (ça arrive dans 2 jours mais bon ...), en quoi permet elle de conclure le raisonnement ?
Dans l'exo similaire que j'ai (les fonctions symétriques), je dois montrer que est une application fermée.
Avant d'avoir vu ton topic, j'avais rédigé comme celà:
-même début: X partie fermée, convergeant vers .
Si F est borné ou si l'est, alors via Weierstrass on trouve qui converge vers et alors par continuité, et sachant que la suite admet une unique valeur d'adhérence, converge vers .
- Le cas non borné est exactement le même (sous suite et contradiction avec ).

J'en viens à supposer que la compacité implique Weierstrass ou quelque chose dans ce gout là, puisque nos deux approches se ressemblent fortement ! (la tienne étant évidemment mieux). Toute suite d'un compact convergeant converge dans ce compact, car c'est un fermé, mais qu'apport le reste de la définition de compact dans la démo ? Ou alors ton raisonnement est le suivant:
F fermé + borné--> F compact ---> compact --> fermé ?

Désolé de te décevoir encore une fois en posant des questions idiotes et d'un niveau faible...

[Seirios]

Dans le cas des espaces vectoriels normés de dimension finie, les définitions suivantes de la compacité sont équivalentes :

- Tout recouvrement de F par des ouverts admet un sous-recouvrement fini (propriété de Borel-Lebesgue, c'est la définition dans le cadre topologique).
- F est fermé et borné (cela vient de la compacité locale des evn de dimension finie).
- Toute suite de F admet une sous-suite convergente (compacité séquentielle, aussi appelée propriété de Bolzano-Weierstrass dans certains contextes).
- Toute suite de F admet une valeur d'adhérence (ce qui est équivalent à la définition précédente dans tout espace topologique à base dénombrable).

Dans la preuve, l'intérêt de se ramener au cas compact est simplement de savoir que l'image de ce compact est fermé (puisque compact, par continuité de l'application).