Espace non-euclidien sphérique 3D

[Anakinele]

Bonjour,

Après avoir retourné le problème dans tous les sens et trouvé très peu d'informations à ce sujet, je me tourne vers vous

Si je considère une sphère et que je suis inclus dans sa surface (j'en fais partie intégrante), je ne suis plus dans le cadre de la géométrie euclidienne, le tenseur métrique est différent du tenseur identité, les géodésiques sont des grands cercles, etc. Pour me positionner sur (dans) cette surface, j'ai besoin de 2 coordonnées que je peux appeler (co)latitude et longitude par analogie avec le positionnement sur Terre (même si sur Terre, on n'est pas vraiment inclus dans la surface ).

Maintenant, que se passe-t-il si j'ajoute une dimension à cette surface non-euclidienne de sorte que ma 3e coordonnée de position soit similaire au en coordonnées sphériques habituelles ? Cette 3e dimension n'a pas de courbure, alors qu'elle est la nature de l'espace ainsi formé ? Attention, je ne parle pas d'un espace euclidien dans lequel on utiliserait les coordonnées sphériques mais bien d'un espace non-euclidien de courbure positive auquel je veux ajouter une dimension « non courbe ».

Je ne sais pas si ma question a un sens... En gros, « avec les mains », je cherche à construire un espace 3D non-euclidien à partir de la sphère, mais pas une hypersphère.

Merci d'avance,

Anakinele
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[Anakinele]

Bonjour...

Je me permets un petit « up » en ce milieu de matinée...

[0577]

Bonjour,

je ne suis pas sur si c'est ce qui est demande mais

ou est munie de sa metrique "ronde" standard,
est muni de sa metrique plate standard
et ou le produit est muni de la metrique produit, est un exemple.

[Amanuensis]

La question n'est pas si claire.

A priori ce que vous cherchez se présenterait (en supposant que l'idée est de conserver la symétrie sphérique) sous la forme d'une métrique f(r)dr² + g(r) r² (dtheta² + sin²theta dphi²), avec autre chose que f(r)=g(r)=1, cas qui correspond à l'euclidien.

Mais qu'appelez-vous "une dimension non courbe" ? Ou "troisième dimension sans courbure" ? Et même "courbure positive" ?

Si la courbure (de Gauss) d'une surface est un scalaire, et a un signe, la courbure en 3D est donnée par 6 paramètres indépendants...

Edit : Croisement, pas gênant

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anakinele]

Bon, d'abord merci pour vos réponses.

@ 0577 :
C'est bien quelque chose comme ça que je cherchais (une « belle » formulation mathématique au lieu de mes explications tordues ) mais je ne suis pas sûr de m'en sortir avec ça...

@ Amanuensis :
Quoique la question purement mathématique m'intéresse, je suis en fait sur un problème physique et je me rends compte que quelque chose d'autre m'échappe. Il faut que je reprenne mon problème depuis le début et je reviendrai plus tard...

Merci encore !