espace vectoriel réél

[invitefbc8c056]

Bonjour,

Je suis bloquée sur un exercice :

1) Montrer que (R2, +, .) est un espace vectoriel réel.
2) Montrer que (M2, 3, +, .) est un espace vectoriel réel.
3) Soit (E, +, .) un espace vectoriel réel, montrer que (F, +, .), où F={0E}, est un sous espace vectoriel réel de E.

Dans mon cours toutes ces présentations sont des théorèmes admis. Comment peut-on montrer ? Merci de me donner une méthodologie pour réponse à ce genre de question.
Dois je commencer par déterminer c'est quoi uh espace vectoriel ?
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[Seirios]

Bonjour,

Dans ces cas là, il faut revenir à la définition d'un espace vectoriel et vérifier toutes les propriétés qui y interviennent.

[PlaneteF]

Dois je commencer par déterminer c'est quoi uh espace vectoriel ?

Oui, tout simplement, ... pour démontrer les points 1) et 2) tu pars effectivement de la définition d'un R-ev, ... et pour le point 3) tu utilises la caractérisation d'un sous-ev.

[invitefbc8c056]

Bonjour et merci pour 2 réponses obtenues

En fait, je suis revenue au forum un peu tardif parce que je dois reformuler ma réponse et vous soumettre.

Voilà mon raisonnement :

Soit R² est l’ensemble des couples (x,y) où x et y sont des nombre réel.
Pour que (R², + , .) soit un espace vectoriel réel il faut que R² muni de deux opérations somme interne (+) et produit externe par un réel qui vérifient toutes les propriétés de la somme et du produit.

- Pour la somme interne :
On dit l’opération est interne car elle s’associe à 2 éléments x et y de R² un élément x+y de R²
En utilisant des propriétés de l’addition des scalaires on déduit que cette opération d’addition vérifie les propriétés suivantes :
 Elle est commutative :
• Pour tous vecteurs x et y dans R² on a : x+y = y+x
 Elle est associative :
• Soit un vecteur z réel pour tous vecteurs x, y et z on a : x+ (y+z) = (x+y)+z
 Le vecteur nul est un élément neutre pour cette addition ce qui signifie pour tout vecteur x on a : x+0 = 0+x = x
 Pour tout vecteur x  R² on a un opposé x’ tel que x+x’ = x’+x = 0
On peut noter (R², +) un groupe commutatif.
- Pour les propriétés des produits externes :
Soit  et  les scalaires en dehors de R² si l’on utilise les propriétés de la multiplication des scalaires on déduit que cette opération externe vérifie les propriétés suivantes :
 Pour tout scalaire  et tous vecteurs x et y , on a (x+y) = x +y
 Pour tous scalaires ,  et tout vecteur x, on a (+)Xx = x + x
 Pour tout vecteur x, on a 1.x = x
Conclusion : l’ensemble R² muni de l’addition interne et de multiplication externe que l’on note (R²,+,.) est un espace vectoriel réel.
Est-ce que mon raisonnement tient la route, y-a-t-il des « coquilles » à rectifier ?

Merci pour vos réponses

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Pour l'instant tu t'es contenté d'affirmer; il n'y aucune preuve :
" Pour tous vecteurs x et y dans R² on a : x+y = y+x" ?? Et si je ne te crois pas ? Pire, je ne sais pas ce que c'est que + pour des éléments de R² ?
Donc tu as noté tout ce qu'il te faut prouver, il te reste à écrire les preuves. Au fait, c'est quoi + et . ici ?

Cordialement.

[invitefbc8c056]

Bonjour,

C'est ça ma difficulté, je ne sais pas justifier, peux-tu me donner un exemple comment tu justifie x+y = y+x ?

Si non, c'est sur cette base qu'on développe ?

Merci par avnce de ta réponse.

Cordialement,

PS : + = somme interne
. = produit externe

[gg0]

Ok.

C'est facile, on faisait ça autrefois dans les classes de seconde.
Mais commence par répondre à mes questions, que l'on parle de la même chose :

Au fait, c'est quoi + et . ici ?

et, pendant que tu y es, et parce que tu vas en avoir besoin, comment est fait un élément de R² ?

[invitefbc8c056]

Re bonjour,
Merci pour ta réponse rapide.
Je ne me rappelle pas d'avoir fait en second.
Tu va m'apprendre alors. Pour répondre à ta question :
+ : ensemble des additions internes
. : ensemble des multiplications externes
R² est ensemble des vecteurs x et y où x et y sont des nombres réels.

Cordialement,

[gg0]

Bon,

j'ai bien fait de ne pas te donner un corrigé. Tu vas commencer par reprendre tes cours (ou un bouquin) pour apprendre :
Ce qu'est l'ensemble
Ce qu'est un espace vectoriel
Comment sont définies les lois de composition de
On trouve ça dans tous les cours d'algèbre linéaire.

Mais ce que tu as écrit est de l'invention sur des écritures que tu n'as pas comprises, faute d'avoir appris les bases de ce domaine des maths.
Toi, tu ne l'as pas fait en seconde probablement, car on a arrêté de le faire entre 1980 et 1985.

Donc commence à étudier tes cours, jusqu'à pouvoir répondre correctement à mes questions (quand tu auras vraiment étudié, tu sauras que tu réponds correctement).

Cordialement.

[invitefbc8c056]

Re,

Les cours de mon prof sont succint pour les personnes qui n'ont pas de base c'est difficile; j'ai appris par coeur ce qui est écrit.
j'ai consulté sur internet et je n'arrive pas à démontrer.
Les 8 propriétés de + et . j'ai compris.
La définition de R² j'ai lu sur internet.

cordialement,


PS : C'est une semaine que je suis dessus

[gg0]

Et ça fait trois jours que tu ne réponds pas aux questions. Débrouille-toi seule.

[ericcc]

Je vais être un peu moins sec que gg0 (effectivement moi je faisais ça en 2de, et même en 3ème !).
Un élément x de IR² est un couple de réels, que l'on note (a,b). Je le mets en gras pour que tu voies bien que ce n'est pas un simple réel.

Soient x = (a,b) de IR² et y=(c,d) de IR², comment définis tu x+y ?

Une fois que tu auras fait cela, tu pourras facilement démontrer ce que l'on te demande.

[PlaneteF]

Pour compléter le message d'ericcc ci-dessus, soit , ... définir aussi

[invitefbc8c056]

Bonjour,
Pour répondre à gg0

1) R² est l’ensemble des couples de 2 réels.
R² =(x ; y)
x appartient à R
y appartient à R
2) On appelle espace vectoriel réel, tout ensemble E muni de deux opérations somme interne + et produit externe par un réel qui vérifient toutes les propriétés de la somme et du produit externe énoncées dans le chapitre précédent. On le note (E, +, .).

Je n'ai pas pu te répondre avant car je m'occupe d'une personne âgée.

Je n'ai pas suivi régulièrement non plus les cours pour cette raison.

Je n'ai pas suivi le second en France.

Merci pour vos réponses