Les mathématiciens ne sont pas de fameux pédagogues ???

[lazakal]

Bonsoir

Je sais qu'il y a une hiérarchie entre les structures algébriques. Mais je n'ai jamais vu une figure montrant des domaines fermés (courbes) inclus l'un dans l'autre, comme par exemple l'anneau inclus dans le groupe. Ça serait bien, bien plus parlant...
Alors est ce que qlq pourrait nous dessiner une figure montrant la hiérarchie des structures algébriques : le monoïde, le groupe, l'anneau, le corps ,l'espace vectoriel, et de l'algèbre....
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[invite76543456789]

Bonsoir,
Y a pas vraiment de hierarchie entre les structures algébriques... Elles sont en general differentes et on y pense aussi en general differement.

[gg0]

Bonsoir.

De quel point de vue inscrire les anneaux dans les groupes : Il y a deux lois sur un anneau, pas une !

[lazakal]

Du point de vue, par exemple, où l'anneau des entiers relatifs ℤ est inclus dans R.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Alors de ce point de vue,

ce n'est pas des pédagogues qu'il faut ! mais des étudiants dotés d'une vue extrêmement puissante. Car la plupart des anneaux ne sont pas inclus dans R. et il n'y a pas à priori de rapport d'inclusion entre deux ensembles munis de structures même si c'est la même !

[lazakal]

Alors j'ai mal exprimé ma question.

Ma question ne concernait pas les ensembles pris tous, entièrement, bien sur!!!

Je ne suis pas matheux, mais à voir les définitions des espaces vect, algèbre, corps et anneau, je me dis qu'il y a un enrichissement de notion partant de groupe (ou monoïde) jusqu'à l’algèbre.

Et je me dis aussi s'il y avait une figure retraçant les enrichissements des notions ça m'éviterai de faire une maitrise en algèbre.

Voila comment je vois le monde : au milieu on a les structures commutatives (par exemple, les R et C);

dehors ce sont les non-commutatives et associatives: là on a le H.


Encore dehors les non-associatives : le O

[Médiat]

Et dehors les non-alternatives S.
et dehors les non superalternatives T

etc.

Peut-être trouverez-vous des renseignement, mais sans l'ombre d'un souci pédagogique, là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180

[taladris]

De quel point de vue inscrire les anneaux dans les groupes : Il y a deux lois sur un anneau, pas une !

Salut,

si est un anneau, alors est un groupe abélien. Je pense que c'est cela que lazakal avait en tête. En particulier, on fait généralement le cours sur les groupes avant celui sur les anneaux. Et pour prouver qu'un morphisme d'anneau est injectif ssi son noyau est réduit à , on se contente généralement de remarquer qu'un morphisme d'anneaux est un morphisme de groupes.

Plus généralement, je n'ai jamais vu de diagramme de Venn représentant la hiérarchie des structures algébriques, mais cela doit bien exister quelquepart. Par contre, en théorie des catégories, il existe une notion pratique, celle de foncteur d'oubli, qui formalise ce que lazakal recherche. Et souvent, en théorie des catégories, on représente les relations entre catégories par des diagrammes (avec des flèches).

Cordialement,
PS: (un peu hors sujet) Il y a des centaines d'exemples d'illustrations de preuves par des diagrammes. Parfois, une preuve se résume à un diagramme: http://mathoverflow.net/questions/88...-without-words
PPS: Si la pédagogie se résumait à un diagramme, cela se saurait.

[toothpick-charlie]

Lazakal pense peut-être à des relations de type inclusion comme : un corps est une anneau particulier qui est lui-même un groupe abélien particulier (comme un cube est un rectangle particulier lequel est un polygone particulier). Mais ça ne va pas très loin tout ça et puis dès qu'on étudie un peu les structures algébriques on n'hésite plus sur ce genre de relations.

[gg0]

Taladris,

je pensais à cela, moi aussi et je voulais voir où voulait aller Lazakal, mais sa réponse indique tout autre chose :
"Du point de vue, par exemple, où l'anneau des entiers relatifs ℤ est inclus dans R. "
Puis il s'est mis à dire autre chose.
A vrai dire, ce qu'il demande c'est de mettre dans un seul schéma les définitions des structures algébriques, parce que en connaissant peu (et apparemment de loin) il réduit la situation à peu de choses.

Enfin, il y a derrière un peu l'idée : un dessin me permettrait de savoir sans apprendre. C'est une illusion !

Cordialement.

[invite76543456789]

Le probleme a mon avis c'est que ca donnerait surtout une mauvaise vision de la chose, bien sur un theorie un groupe abélien est un cas particulier d'un anneau, tout comme un corps, etc...
Sauf que justement un anneau n'est pas vraiment dans l'esprit un enrichissement de la structure de groupe. On pense a ces objets de manière bien differentes et ils ont des roles a jouer bien differents. Finalement le fait qu'un anneau soit un groupe abélien, ca n'a en vérité pas beaucoup d'interet.

[toothpick-charlie]

par contre ce genre de schéma peut servir à mémoriser les noms des diverses sortes d'anneaux : euclidien, principal, noetherien, intègre... mais là encore si on travaille un peu la question on n'en a pas vraiment besoin.

pour les espaces topologiques je pense que c'est utile et d'ailleurs il y a un joli schéma dans le bouquin de Steen & Seebach.