probleme algebre mpsi 1

[nidhalby]

G un groupe commutatif noté multiplicativement et s,r,t des entiers strictement positifs deux a deux premiers entre eux .soit a,b deux elements de G tel que a^s = b^r = (ab)^t = e
Montrer que a=b=e
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[Seirios]

Bonjour,

Un indice : Penser à Bezout.

[nidhalby]

merci je vais voir

[nidhalby]

j'ai montré que t et sr sont premiers entre eux
et que (ab)^sr=(ab)^t=e
ca peut m'aider ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[nidhalby]

ca y est c'est fait
je montre que (ab)^(sru-tv)=e pour tout u,v
d'ou ab=e
puis je montre que b^s=e
puis b=e
et c'est resolu
mercii pour l'indication

[Seirios]

Tu peux même montrer que l'ordre de ab est nécessairement rs, donc rs divise t ce qui implique que r=s=1.

[nidhalby]

Tu peux même montrer que l'ordre de ab est nécessairement rs, donc rs divise t ce qui implique que r=s=1.

mais comment montrer que l'ardre de ab est rs !!

[Seirios]

Notons n l'ordre de ab. Alors , d'où . Or puisque ce sont deux groupes dont les ordes sont premiers entre eux. Ainsi, , donc r et s divise n ; puisque r et s sont premiers entre eux, rs divise n. Ensuite, , donc n divise rs. Au final, n=rs.