Ordinaux séquentiellement compacts

[Seirios]

Bonjour à tous,

Je me demandais si les espaces topologiques de la forme (munis de la topologie de l'ordre), où est plus petit ordinal de cardinal strictement supérieur à celui de , était séquentiellement compact (ie. toute suite admet une sous-suite convergente).

J'ai tout de même pu montrer que toute suite admet une valeur d'adhérence : Si est une suite d'ordinaux dans , alors elle est majorée par qui est de cardinal strictement inférieur à celui de , d'où ; par conséquent, est valeur dans , qui est compact, d'où l'existence d'une valeur d'adhérence.

Par contre, je ne sais pas quoi dire à propos de la compacité séquentielle en elle-même, puisque n'est pas à base dénombrable ( ne possède pas de base de voisinages dénombrable) ; en particulier, le point est donc un bon candidat pour chercher une suite avec valeur d'adhérence sans sous-suite convergente, mais est séquentiellement compact, donc si est valeur d'adhérence d'une suite, alors il existe une sous-suite convergeant vers cet ordinal...

Avez-vous une idée sur la compacité séquentielle de cet espace ?

Seirios
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[Seirios]

J'ai finalement trouvé que c'est deux notions de compacité étaient équivalentes pour les ordinaux : sur un ensemble bien ordonné, toute suite admet une sous-suite croissante, et une suite croissante est convergente ssi elle admet une valeur d'adhérence.