les bases

[amal20]

bonsoir
premièrement j'ai une petite question on sait que K[X] l'ensemble des polynômes à coefficients dans K=R ou C
mais quand on écrit Kn[X] cela qu'est_ce que veut dire ? est_ce que les coefficient sont dans ce cas des vecteurs ?
deuxièmement
j'ai un exercice mais j'ai bloqué
soient V1=(1,2,1,2,1,2) v2=(1,2,3,4,5,6) et v3=(6,5,4,3,2,1)
la question c'est compléter le systeme (V1,V2,V3) en une base de R^6
J'ai compris qu'il faut trouver 3 autres vecteurs pour que le systeme soit une base
et ces vecteurs forment une famille libre j'ai essayé mais en vain
et merci d'avance
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[gg0]

Bonsoir.

K_n[X] désigne souvent le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

Pour ton exercice, le choix aléatoire de trois nouveaux vecteurs donne presque sûrement une base. mais on peut procéder assez simplement en utilisant des vecteurs de la base canonique : On prend (1,0,0,0,0,0), on regarde s'il est combinaison linéaire des trois, et si non on l'ajoute. Puis on recommence avec les 4 vecteurs.

Bon travail !

[invitefb93cf51]

Bonsoir,
Pour ta deuxième question, je crois que la démarche est la suivante
tu considères la matrice de vecteurs colonne V1,V2,V3 puis tu l'échelonnes ( tu trouveras une matrice avec 3elements distingués, càd de rang 3, c'est normal puisque V1,V2,V3 sont libres, enfin je crois sinon tu peux le vérifier)
apres tu essayes de trouver trois vecteurs de la bases canoniques tels que la matrice de vecteurs colonne V1,V2,V3 plus les trois vecteurs soit de rang égal 6, càd que cette famille est libre et puisque dim(IR^6)=6 donc ça sera une base