isomorphismes

[invite76543456789]

ah pardon, en fait j'avais compris. Ma remarque signifiait que j'aurais pu y penser si j'avais réfléchi un peu. Mais merci quand-même.

J'hesitais entre ces deux options, dans le doute, j'ai prefere détailler
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[jules345]

Merci de vos réponses,

En fait, je crois avoir compris, pour résumé pour voir si (Q,+) et (Q*,*) sont deux groupes isomorphes il suffit de regarder pour un élément respectivement dans Q, Q* tel que xTx=e le nombre de solutions de cette équation et c'est le fait que l'on connaisse Q que l'on peut montrer qu'il y a un nombre de solutions différentes.

Donc le fait d'avoir prouvé cela indique que (Z,+) et (Z*,*) ne sont pas isomorphes alors ?

Du coup, quel intérêt de prendre Q ?

Désolé pour toutes ces questions inutiles mais ma curiosité m'emporte

[invite76543456789]

C'est pas vraiment équivalent non, le fait que Z et Z^* ne soient pas isomorphe se déduit d'une simple question de cardinalité, ca ne prouve pas a priori que Q^* et Q ne sont pas isomorphe car il faudrait prouver qu'un tel isomorphisme induit un isomorphisme entre Z et Z^*.

[jules345]

En fait ce que je veux dire c'est que étant donné que les solutions {-1,0,1} des équations précédentes sont des entiers relatifs on peut faire le même raisonnement analogue c'est à dire que on utilise plutôt les connaissances que l'on a sur Z et non sur Q pour résoudre x*x=1 et x+x=0 non ?

[Médiat]

le fait que Z et Z^* ne soient pas isomorphe se déduit d'une simple question de cardinalité.

J'avoue ne pas comprendre, les deux sont de cardinal ...

[Seirios]

Les inversibles de sont , non ?

[Médiat]

Je comprends de moins en moins, tous les éléments de (Z, +) sont inversibles, alors que ceux de (Z*, x) sont bien 1 et -1 (donc ce n'est pas un groupe, donc difficile de trouver un ismorphisme), néanmoins ils ont même cardinal !

[Seirios]

La question est : Parlons-nous des inversibles du groupe ou de l'anneau ? La deuxième possibilité semble tout de même plus plausible (sinon je ne vois pas vraiment l'intérêt de la question).

[Médiat]

La question du posteur initial est :

cela indique que (Z,+) et (Z*,*) ne sont pas isomorphes alors ?

Que (Z,+) et (Z*,*) ne soient pas isomorphes est trivial, l'un étant un groupe et pas l'autre, mais là n'est pas la question, ce qui me trouble c'est la remarque de MissPacMan sur la cardinalité (qui est un excellent argument pour montrer la non-isomorphie, quand c'est le cas).

Par exemple, vous ne trouverez jamais une formule (du premier ordre) qui permettent de différencier , et , par contre l'argument de cardinalité fonctionne très bien.

[invite76543456789]

Bonjour,
Ce que je note en general Z^*, (ou plus generalement A^*), c'est les inversibles de l'anneau Z (ou A donc).
Donc oui Z^*={1,-1}, et n'a donc pas le meme cardinal que Z.
Si par Z^* on entend Z privé de 0, alors c'est pas un groupe (pour la loi naturelle) et la question de l'isomorphisme avec Z n'a pas de sens.

[Médiat]

Bonjour,

Ce que je note en general Z^*, (ou plus generalement A^*), c'est les inversibles de l'anneau Z (ou A donc).

La formulation de jules 345 ne porte pas d'ambiguité.

Si par Z^* on entend Z privé de 0, alors c'est pas un groupe (pour la loi naturelle) et la question de l'isomorphisme avec Z n'a pas de sens.

La question a parfaitement du sens, simplement la réponse est trivialement non.

La question de l'isomorphisme entre deux structures a du sens si et seulement elles ont la même signature (au sens du langage), ce qui est bien le cas ici

[invite76543456789]

Je ne vois pas ce qui dans le message de Jules345 laisse penser que Z^* pourrait etre autre chose que {-1,1}.

[Médiat]

Je ne vois pas ce qui dans le message de Jules345 laisse penser que Z^* pourrait etre autre chose que {-1,1}.

C'est vrai que ce n'est pas si "évident" que cela, mais :

1. On parlait de groupes et non d'anneaux
2. Chercher un isomorphisme entre un ensemble infini et un ensemble à deux éléments ne m'a pas paru pertinent

[invite76543456789]

Ok, dans tous les cas on a fournit les arguments dans les deux cas.

[jules345]

je vous remercie de votre aide j'ai compris