Démo de Taylor-Lagrange

[husch]

Bonjour,
pourrait-on m'aider à trouver une démonstration de la formule de Taylor-Lagrange,ordre n ? Je ne trouve sur internet que des démonstrations qui utilisent la formule de Marc Laurin (et j'en veux pas ),..... (dans mon bouquin aussi).

Merci d'avance !
a+

Ps : J'ai essayé une récurrence mais je bloque lamentablement.

[indian58]

est-ce que tu connais le théorème de Rolle?? Si oui, tu va poser une fonction auxilliaire et appliquer ce théorème

[Cyp]

Bonsoir,
quelle formule de Taylor-Lagrange : l'égalité, l'inégalité ou celle avec reste intégral... ? Je ne sais pas si tu es en prépa ou pas, mais en prépa celle avec l'égalité n'est plus au programme parce que l'inégalité de TL suffit presque toujours (c'est juste une info et ça t'aide pas je sais :d lol).

Pour démontrer celle avec reste intégral (je sais pas si c'est celle là qui t'intéresse mais on sait jamais) tu fais une récurrence comme tu le dis en intégrant par parties. Tu commences à l'ordre 1 en écrivant que f(b)=f(a)+int(f'(t)dt,a,b) et là tu intègres par parties le 1 et tu dérives le f'. Sauf que tu choisis (t-b) comme primitive de 1 et pas t sinon tu es coincé, l'expression ne se simplifie pas. Voilà j'espère t'avoir éclairé
++ Cyp

[husch]

Merci Cyp et Indian58.


Je pense comprendre pourquoi il faut utiliser Rolle ( que je connais ) car c'est à peu près les mêmes hypothèses entre ces deux théorèmes. Rolle doit permettre de passer au rang suivant dans une récurrence montante, non ? Par contre je ne comprends pas ce que signifie une fonction auxilliaire et surtout comment faire pour avoir la dernière hypothèse de Rolle : l'égalité pour a et b de f à l'ordre n.

Merci beucoup, et bonnes fêtes de fin d'année.

[Cyp]

C'est dommage que tu ne dises pas quelle formule exactement tu veux démontrer lol.

Donc si tu veux démontrer la première (égalité de Taylor Lagrange, celle qui te dit qu'il existe un c dans [a,b] tel que f(a)=...) tu as en effet besoin d'une fonction auxiliaire. Il me semble qu'il faut que tu considères comme fonction auxiliaire la différence entre f(a) et la somme polynomiale (donc sans le terme en f(n+1) (c)) à quelque chose près parce qu'il faut qu'elle s'annule en deux points donc faut chercher un peu lol

Ensuite tu montres que tu peux appliquer Rolle à cette fonction et donc tu en déduis l'existence de c tel que etc...

Sinon l'inégalité de TL n'est qu'une conséquence triviale de l'égalité de TL
++ Cyp

[husch]

Excuse moi Cyp.

En fait c'est bien l'égalité de Taylor-Lagrange( f(b)= somme des f(a) à l'ordre k sur factoriel k ...... +(b-a)puissance n+1*f(c) à l'ordre n+1 sur factoriel n+1 ) qui ne dois plus être au programme comme tu l'as dit.

[indian58]

Quand on ne précise pas "avec reste intégral", alors on sous-entend le "f(c)". Dans ce cas, tu fais la démo directement en posant une bonne fonction

[Cyp]

Pas grave
Donc de ce que je me rappelle de mon cours de l'année dernière en sup, il faut que tu "rendes la liberté à b". Ca veut dire que dans la fonction auxiliaire que tu introduis (g(x)=la différence des deux expressions) il faut que tu remlaces b par x pour avoir une fonction qui dépend de x. Ensuite il faut que tu te débrouilles pour avoir 2 points où g s'annule. Elle s'annule en a c'es clair et pour qu'elle s'annule en b il faut la modifier un peu (multiplier tout par (b-x) peut être je ne sais plus).
++ Cyp

[Cyp]

Quand on ne précise pas "avec reste intégral", alors on sous-entend le "f(c)". Dans ce cas, tu fais la démo directement en posant une bonne fonction

le tout c'est juste de trouver la bonne fonction :d lol

[husch]

J'ai trouvé, merci Cyp.
Bonnes fêtes de fin d'année.

Ps : au fait tu es en prépa HEC ?

[husch]

Pas grave
Donc de ce que je me rappelle de mon cours de l'année dernière en sup, p

J'ai ma réponse...

[Cyp]

je suis en MP option info
++ Cyp

[sda]

je pense qu'appliquer l'egalité de la moyenne généralisée au reste integral suffit puisque (b-t)^n/n! est positive

[Antho07]

Une bonne fonction a posée est:

 Cliquez pour afficher

en prenant c tels que: