Complexes

[Isis-mirka]

Bonjour a tous voila , je rencontre des problemes avec l'exo en heut de page et avec l'exo 6 (les autres je ne les ai pas encore faits).
Le probleme est que je ne sais pas comment démarrer
Merci pour votre aide.


si l'image n'est pas lisible; voici le début de l'énoncé: "préciser la nautre de l'ensemble A des points M d'affixe z et donner une représentation graphique rapide."
A=( M(z), z=z0+a*exp(iӨ) ) avec a un réel positif fixé, z un complexe fixé et téta appartenant à ]0;pi[

exo 6: pour quelles valeurs du nombre complexe z, les poiunts A(1), M(z) et N(z^3) du plan complexe sont-ils alignés, (on suppose que z différent de 0, z différent de 1 et z différent de -1)

merci a tous
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[Isis-mirka]

L'un d'entre-vous aurait-il une idée ?

[gg0]

Bonjour.

Pour l'exo en haut de page, revoir l'écriture exponentielle d'un complexe, et, pour le b, l'interprétation géométrique de z-z₀.
Pour l'alignement, revoir le lien avec les vecteurs et la traduction géométrique de la multiplication d'un complexe par un réel.

Cordialement.

[Isis-mirka]

d'accord, merci , j'ai compris pour l'exo en haut de page, mais pour le 6, je suis désolé , je n'y arrive pas .
merci pour votre aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Tu peux traduire l'énoncé en terme de vecteurs, puis regarder ce que cela implique sur les coordonnées pour faire le lien avec les nombres complexes.

[Isis-mirka]

les points sont alignés si les vecteurs AM et AN sont colinéaires
donc: (z-1) = k*(z^3 -1) avec k un réel .
mais que faire de cette expression (si c'est la bonne) ?

[Seirios]

Tu peux en déduire que est un nombre réel (il faut toutefois justifier que k est non nul). Pour quel nombre complexe z cette expression est-elle un réel ?

[Isis-mirka]

avec tout nombre z réel ça fonctionne mais est-ce que ça fonctionne avec certains nombre complexes ou imaginaires purs ?

[Seirios]

Effectivement, il y a d'autres solutions. Tu peux écrire avec a et b réels, et trouver les contraintes sur a et b pour que soit un nombre réel.

[Isis-mirka]

j'ai remplacé z par x+iy dans z^2+z+1 et j'ai dit que si z^2+z+1 est réel alors z^2+z+1=barre(z^2+z+1) avec barre(z^2+z+1) = conjugué de z^2+z+1
mais apres je bloque quand je developpe

[gg0]

Seirios t'a donné une méthode ...

[Isis-mirka]

en effet, je dois poser z=x+iy et etudier les contraintes pour lesquelles z^2+z+1 soit réel. c'est ce que j'ai fais et si j'oublie cette histoire de conjugué, je remplace z par x+iy dans l'expression, j'isole patires réelles et imaginaires et je dis que la parties imaginaire doit etre nulle. j'aboutis alors à x=-0.5 et y=0 , bizarre non ?

[gg0]

j'aboutis alors à x=-0.5 et y=0

Non ! pas "et". Reprends strictement les calculs.
D'ailleurs y=0, c'est exactement ce que tu as dit au départ (z réel).

Cordialement.

[Isis-mirka]

est-ce que ma façon de faire est bonne elle ? parce que je n'en suis pas sur (il existe peut-être et même surement d'autres méthodes...)
merci

[Seirios]

La méthode est correcte, tu as simplement fait une petite erreur dans ta conclusion ; gg0 t'a fait remarquer que le "et" posait problème. En reprenant ce que tu as écrit, tu devrais trouver ton erreur.

[Isis-mirka]

je ne vois pas : le "et" pose probleme ?
qu'est -ce qui ne vas pas ?

[Seirios]

Si tu as simplement , l'expression est un réel, indépendamment de la valeur de , donc la réponse ne peut pas être et (ie. que les deux conditions doivent être vérifiées en même temps).

[Isis-mirka]

je ne comprend pas ou est mon erreur dsl , je ne vois pas trop...

[Seirios]

Quelles sont les solutions de ? D'après ce que tu as écrit, tu dois avoir tendance à dire ; est-ce correct ?

[gg0]

Un produit est nul si et seulement si ...

Mais à 11h du soir, les idées sont parfois un peu embrouillées ...

Cordialement.

[Isis-mirka]

je suis désolé je ne vois pas trop où il ya un problème, est-ce que vous pouvez etre plus précis ?
merci

[gg0]

Quand tu résous (x-1)(x-2)=0,
tu en déduis sans doute que x=1 et x=2 donc il n'y a pas de solution car x ne peut pas être égal à la fois à 1 et 2 ?

Il faut se méfier de l'emploi du "et" et du "ou" en maths, car le sens de ces mots en français courant est fluctuant. pas en logique.

Reprenons :

Cordialement.

[Isis-mirka]

a*b implique a=0 ou b=0, je ne m'étais pas méfié.

[Isis-mirka]

merci pour votre aide, je vais essayer et vous recontacterai.

[Isis-mirka]

j'y suis finalement arrivé, merci a vous deux pour votre aide
J'ai encore besoin de vous pour une question d'un exo qui me pose probleme:
"quel est l'ensemble des nombres complexes vérfiant : |z-1|=|z(barre)+1|"
expliquer géométriquement.
j'ai essayé de remplacer z par x+iy mais sans succès , je demande donc encore votre aide
merci d'avance.

[Seirios]

Tu élever ton égalité au carré, et utiliser que pour tout complexe z.

[Isis-mirka]

si j'éleve l'égalité au carré ,j'ai: |z-1|^2=|z(barre)+1|^2
mais a partir de la je ne peux plus rien faire car |z-1|n'est pas égal a |z|+|1| , non?
il ya surement une astuce que je n'ai pas comprise ....

[Seirios]

Utilise que le module au carré d'un complexe est égal au produit de ce complexe par son conjugué.

[Isis-mirka]

on aurait alors : |z-1|^2=(z-1)*[(z-1)]barre ?

[Isis-mirka]

je suis désolé mais je ne comprend pas le but vers lequel vous voulez aller en disant que le module module au carré d'un complexe est égal au produit de ce complexe par son conjugué. en quoi cela peut nous aider ?
merci