Groupes

[jules345]

Bonjour,

Voila je bloque sur un autre exercice sur les groupes, en voici l'enonce:

Soient (G,.) ungroupe fini commutatif d’ordre n et a∈G

a)Justifier que l’ application x→ax est une permutation de G.
b)En considérant le produit des éléments de G, établir que a^n=e.

Pour la première question je n'arrive pas a justifier cela proprement, dans un premier temps j'ai dit que l'application x→ax est clairement injective. Ensuite je ne sais pas si je dois dire qu'elle est surjective par construction ou bien invoquer un argument de cardinalité pour montrer la bijectivité.

Pour la deuxième question je n'ai pas d'idée...

Merci de votre aide
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[indian58]

a) Montre la surjectivité.

[jules345]

C'est un peu évident par construction non ?

[indian58]

C'est un peu évident par construction non ?

oui en effet

[A voir en vidéo sur Futura]

[jules345]

Merci par contre pour la question 2 je ne vois pas trop comment raisonner ?

[gg0]

Le produit des x est le produit des ax.

Cordialement.

[jules345]

Pourquoi ?

[gg0]

Parce que ce sont les mêmes éléments du groupe, plus associativité et commutativité ("groupe fini commutatif", si on enlève un des mots, ça ne marche plus).

Cordialement.

[jules345]

Merci mais peut on le démontrer ? J'ai du mal a me l'imaginer

[indian58]

Merci mais peut on le démontrer ? J'ai du mal a me l'imaginer

Oui tu peux.

[jules345]

Mais comment ? C'est déjà difficile pour moi a voir alors pour le démontrer... un indice ?

[gg0]

Jules345,

tu viens de le démontrer dans la question a) !!!

On dirait que tu n'as pas compris ce que tu y as fait ! Que veut dire "que l’ application x→ax est une permutation de G" ?

Cordialement.

NB : ce sont les évidences qui sont les plus délicates à expliquer.

[jules345]

Je suis bien d'accord avec toi gg0...mais le problème c'est que je ne vois pas très bien comment le rédiger proprement l'idée serait de dire que la bijection va de G dans G donc on peut trouver n'importe quel élément de l'ensemble de départ dans l'ensemble d'arrivée c'est bien sa ?

[gg0]

Puisque c'est une permutation, l'ensemble des images est l'ensemble de départ. Il n'y a pas à chercher je ne sais quelle "démonstration". Si tu as du temps à perdre, tu peux chercher une rédaction "puriste", mais est-ce utile ?

[indian58]

Puisque c'est une permutation, l'ensemble des images est l'ensemble de départ. Il n'y a pas à chercher je ne sais quelle "démonstration". Si tu as du temps à perdre, tu peux chercher une rédaction "puriste", mais est-ce utile ?

Je me demande s'il comprend vraiment quelque chose.

[jules345]

Disons que sa évite de se faire torturer par ma prof

[Seirios]

Je ne suis pas sûr que tu aies bien compris : puisque est une permutation, le produit correspond simplement au produit mais avec les termes dans un ordre différent.