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Groupes : union de sous-groupes.

  1. Esth3r

    Date d'inscription
    avril 2006
    Messages
    12

    Post Groupes : union de sous-groupes.

    Bonjour à toutes et à tous.

    Démontrer que l'union de deux sous-groupes et d'un même groupe est un sous-groupe () si, et seulement si, ou .

    Voici ce que j'ai fait.

    Si alors .
    Si alors .


    Supposons que et .
    Démontrons que .
    Par hypothèse,


    Il me suffirait de deux éléments de tels que leur produit ne soit pas dans .
    J'essaie avec et .


    sinon, serait dans
    sinon, serait dans

    Qu'en pensez-vous ?
    Merci de votre avis.

    -----

    Esth3r
     


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  2. doudache

    Date d'inscription
    avril 2006
    Localisation
    Paris
    Âge
    34
    Messages
    255

    Re : Groupes : union de sous-groupes.

    Salut !

    Ça m'a l'air tout bon !

    Si tu veux un autre résultat dans le genre, tu peux essayer de démontrer que si E est un k-ev, avec k un corps de cardinal > s, alors l'union de s sous-espaces vectoriel de E est un espace vectoriel si et seulement si l'un d'entre eux contient tous les autres.
     

  3. modulaire

    Date d'inscription
    mars 2006
    Messages
    166

    Re : Groupes : union de sous-groupes.

    C'est correct, sauf que ta réciproque montre que A union B n'est pas un groupe. (et non pas A union B non inclus dans G).
    Gentlemen: there's lots of rooms left in Hilbert space (S. Mac Lane)
     

  4. Esth3r

    Date d'inscription
    avril 2006
    Messages
    12

    Question Re : Groupes : union de sous-groupes.

    Merci de vos réactions.

    C'est correct, sauf que ta réciproque montre que A union B n'est pas un groupe. (et non pas A union B non inclus dans G).
    C'est ce que j'ai écrit, non ? C'est sans doute à cause des symboles : signifie n'est pas un sous-groupe de .
    Je n'ai pas écrit .
    C'est ma faute de vouloir utiliser le symbole pour dire "sous-groupe".

    Si tu veux un autre résultat dans le genre, tu peux essayer de démontrer que si E est un k-ev, avec k un corps de cardinal > s, alors l'union de s sous-espaces vectoriel de E est un espace vectoriel si et seulement si l'un d'entre eux contient tous les autres.
    Avec la notation "" pour dire "k-sev", tu veux dire que si l'on considère
    alors :
    Esth3r
     

  5. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    57
    Messages
    2 041

    Re : Groupes : union de sous-groupes.

    Citation Envoyé par Esth3r
    Bonjour à toutes et à tous.

    Démontrer que l'union de deux sous-groupes et d'un même groupe est un sous-groupe () si, et seulement si, ou .
    Bonjour,

    Il y a mieux (et plus intuitif): un groupe ne peut pas être réunion de deux de ses sous-groupes distincts (et donc disjoints). Attention, ça ne marche que pour deux sous-groupes (exo: trouver un groupe qui est réunion de trois de ses sous-groupes).
    Je l'sais, j'm'ai mordu la queue en généralisant abusivement...

    -- françois

    EDIT: "distincts" n'implique pas "disjoints", ne serait-ce que parce que l'élément neutre est au moins commun... c'est les séquelles de l'anesthésie, j'ai encore de la morph' dans les oeils.
    Dernière modification par fderwelt ; 27/04/2006 à 10h27.
     


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  6. Esth3r

    Date d'inscription
    avril 2006
    Messages
    12

    Re : Groupes : union de sous-groupes.

    Il y a mieux (et plus intuitif): un groupe ne peut pas être réunion de deux de ses sous-groupes distincts (et donc disjoints).
    Tous les sous-groupes d'un même groupe n'ont pas l'élément neutre en commun ?

    Edit : croisement des réponses.
    Esth3r
     

  7. doudache

    Date d'inscription
    avril 2006
    Localisation
    Paris
    Âge
    34
    Messages
    255

    Re : Groupes : union de sous-groupes.

    Citation Envoyé par Esth3r
    Avec la notation "" pour dire "k-sev", tu veux dire que si l'on considère
    alors :
    Voilà, c'est exactement ça.
     

  8. Esth3r

    Date d'inscription
    avril 2006
    Messages
    12

    Re : Groupes : union de sous-groupes.

    exo: trouver un groupe qui est réunion de trois de ses sous-groupes).
    Je suppose que tu veux des sous-groupes distincts et propres. ( J'ai : pour tout groupe : . )
    Esth3r
     

  9. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    57
    Messages
    2 041

    Re : Groupes : union de sous-groupes.

    Citation Envoyé par Esth3r
    Je suppose que tu veux des sous-groupes distincts et propres. ( J'ai : pour tout groupe : . )
    Ah c'est malin... Il me semble que j'ai précisé que j'ai encore de la morph' plein les oeils!

    -- françois
     

  10. Esth3r

    Date d'inscription
    avril 2006
    Messages
    12

    Re : Groupes : union de sous-groupes.

    Bon, si on prend un groupe à trois éléments (où est le neutre).
    On sait que , et sont des sous-groupes de . Leur réunion est bien . non ?
    Esth3r
     

  11. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    57
    Messages
    2 041

    Re : Groupes : union de sous-groupes.

    Citation Envoyé par Esth3r
    Bon, si on prend un groupe à trois éléments (où est le neutre).
    On sait que , et sont des sous-groupes de . Leur réunion est bien . non ?
    Oui. C'est l'exemple classique.

    -- françois
     

  12. doudache

    Date d'inscription
    avril 2006
    Localisation
    Paris
    Âge
    34
    Messages
    255

    Re : Groupes : union de sous-groupes.

    Alors maintenenant je pense que l'on peut raisonnablement demander l'existence, pour tout n >2, d'un groupe qui soit une réunion non triviale de n groupes mais pas moins ?
     

  13. fderwelt

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    57
    Messages
    2 041

    Re : Groupes : union de sous-groupes.

    Citation Envoyé par doudache
    Alors maintenenant je pense que l'on peut raisonnablement demander l'existence, pour tout n >2, d'un groupe qui soit une réunion non triviale de n groupes mais pas moins ?
    Je crois que pour toute famille (x1,...,xn) le groupe F2(n) répond à la question, avec évidemment les relateurs xi²=1. Je dis ça de tête, mais l'idée est correcte.

    -- françois
     

  14. Esth3r

    Date d'inscription
    avril 2006
    Messages
    12

    Question Re : Groupes : union de sous-groupes.

    Pour l'autre exercice avec les sev.
    Pour la suite, je note .


    Supposons que
    .
    Démontrons que .
    Par hypothèse, on sait que
    tel que
    Je vais tenter le coup cette fois-ci avec
    et montrer que cet élément n'est pas dans .
    sinon
    Même raisonnement avec les autres sev.
    Esth3r
     

  15. Esth3r

    Date d'inscription
    avril 2006
    Messages
    12

    Unhappy Re : Groupes : union de sous-groupes.

    Oups, je vais recommencer, j'ai écrit n'importe quoi.
    Esth3r
     


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