Groupes : union de sous-groupes.

Esth3r · 27/04/2006 - 08h41

Bonjour à toutes et à tous.

Démontrer que l'union de deux sous-groupes $A$ et $B$ d'un même groupe $G$ est un sous-groupe ( $A\cup B<G$ ) si, et seulement si, $A\subset B$ ou $B\subset A$ .

Voici ce que j'ai fait.
$\Longleftarrow$
Si $A\subset B$ alors $A\cup B=B<G$ .
Si $B\subset A$ alors $A\cup B=A<G$ .

$\Longrightarrow$
Supposons que $A\not\subset B$ et $B\not\subset A$ .
Démontrons que $A\cup B\not<G$ .
Par hypothèse,
$\exists a\in A,\;a\not\in B$
$\exists b\in B,\;b\not\in A$
Il me suffirait de deux éléments de $A\cup B$ tels que leur produit ne soit pas dans $A\cup B$ .
J'essaie avec $a$ et $b$ .
$a\in A\subset A\cup B$
$b\in B\subset A\cup B$
$ab\not\in A$ sinon, $a^{-1}ab=b$ serait dans $A$
$ab\not\in B$ sinon, $abb^{-1}=a$ serait dans $B$

Qu'en pensez-vous ?

Merci de votre avis.

doudache · 27/04/2006 - 09h02

Salut !

Ça m'a l'air tout bon !

Si tu veux un autre résultat dans le genre, tu peux essayer de démontrer que si E est un k-ev, avec k un corps de cardinal > s, alors l'union de s sous-espaces vectoriel de E est un espace vectoriel si et seulement si l'un d'entre eux contient tous les autres.

modulaire · 27/04/2006 - 09h03

C'est correct, sauf que ta réciproque montre que A union B n'est pas un groupe. (et non pas A union B non inclus dans G).

Esth3r · 27/04/2006 - 09h15

Merci de vos réactions.

C'est correct, sauf que ta réciproque montre que A union B n'est pas un groupe. (et non pas A union B non inclus dans G).

C'est ce que j'ai écrit, non ? C'est sans doute à cause des symboles : $A\cup B\not<G$ signifie $A\cup B$ n'est pas un sous-groupe de $G$ .
Je n'ai pas écrit $A\cup B\not\subset G$

.
C'est ma faute de vouloir utiliser le symbole $<$ pour dire "sous-groupe".

Si tu veux un autre résultat dans le genre, tu peux essayer de démontrer que si E est un k-ev, avec k un corps de cardinal > s, alors l'union de s sous-espaces vectoriel de E est un espace vectoriel si et seulement si l'un d'entre eux contient tous les autres.

Avec la notation " $<$ " pour dire "k-sev", tu veux dire que si l'on considère $E_i<E,\;\forall i,1\leq i\leq s$
alors :

$\displaystyle\cup_{i=1}^sE_i<E \;\Longleftrightarrow\;\exists k,\;1\leq k\leq s\;:\;E_k\supset\cup_{i=1}^sE_ i$

fderwelt · 27/04/2006 - 09h24

Envoyé par Esth3r

Bonjour à toutes et à tous.

Démontrer que l'union de deux sous-groupes $A$ et $B$ d'un même groupe $G$ est un sous-groupe ( $A\cup B<G$ ) si, et seulement si, $A\subset B$ ou $B\subset A$ .

Bonjour,

Il y a mieux (et plus intuitif): un groupe ne peut pas être réunion de deux de ses sous-groupes distincts (et donc disjoints). Attention, ça ne marche que pour deux sous-groupes (exo: trouver un groupe qui est réunion de trois de ses sous-groupes).
Je l'sais, j'm'ai mordu la queue en généralisant abusivement...

-- françois

EDIT: "distincts" n'implique pas "disjoints", ne serait-ce que parce que l'élément neutre est au moins commun... c'est les séquelles de l'anesthésie, j'ai encore de la morph' dans les oeils.

Esth3r · 27/04/2006 - 09h27

Il y a mieux (et plus intuitif): un groupe ne peut pas être réunion de deux de ses sous-groupes distincts (et donc disjoints).

Tous les sous-groupes d'un même groupe n'ont pas l'élément neutre en commun ?

Edit : croisement des réponses.

doudache · 27/04/2006 - 09h28

Envoyé par Esth3r

Avec la notation " $<$ " pour dire "k-sev", tu veux dire que si l'on considère $E_i<E,\;\forall i,1\leq i\leq s$
alors :

$\displaystyle\cup_{i=1}^sE_i<E \;\Longleftrightarrow\;\exists k,\;1\leq k\leq s\;:\;E_k\supset\cup_{i=1}^sE_ i$

Voilà, c'est exactement ça.

Esth3r · 27/04/2006 - 09h36

exo: trouver un groupe qui est réunion de trois de ses sous-groupes).

Je suppose que tu veux des sous-groupes distincts et propres. ( J'ai : pour tout groupe $G$ : $G=G\cup G\cup G$ .

)

fderwelt · 27/04/2006 - 09h38

Envoyé par Esth3r

Je suppose que tu veux des sous-groupes distincts et propres. ( J'ai : pour tout groupe $G$ : $G=G\cup G\cup G$ .

)

Ah c'est malin... Il me semble que j'ai précisé que j'ai encore de la morph' plein les oeils!

-- françois

Esth3r · 27/04/2006 - 09h50

Bon, si on prend un groupe $G=\{e,a,b\}$ à trois éléments (où $e$ est le neutre).
On sait que $<e>$ , $<a>$ et $<b>$ sont des sous-groupes de $G$ . Leur réunion est bien $G$ . non ?

fderwelt · 27/04/2006 - 10h09

Envoyé par Esth3r

Bon, si on prend un groupe $G=\{e,a,b\}$ à trois éléments (où $e$ est le neutre).
On sait que $<e>$ , $<a>$ et $<b>$ sont des sous-groupes de $G$ . Leur réunion est bien $G$ . non ?

Oui. C'est l'exemple classique.

-- françois

doudache · 27/04/2006 - 10h13

Alors maintenenant je pense que l'on peut raisonnablement demander l'existence, pour tout n >2, d'un groupe qui soit une réunion non triviale de n groupes mais pas moins ?

fderwelt · 27/04/2006 - 10h20

Envoyé par doudache

Alors maintenenant je pense que l'on peut raisonnablement demander l'existence, pour tout n >2, d'un groupe qui soit une réunion non triviale de n groupes mais pas moins ?

Je crois que pour toute famille (x₁,...,x_n) le groupe F₂⁽ⁿ⁾ répond à la question, avec évidemment les relateurs x_i²=1. Je dis ça de tête, mais l'idée est correcte.

-- françois

Esth3r · 27/04/2006 - 10h36

Pour l'autre exercice avec les sev.
Pour la suite, je note $\displaystyle F:=\cup_{i=1}^sE_i$ .

$\Rightarrow$
Supposons que
$\forall k,\;1\leq k\leq s\;:\:F\not\subset E_k$ .
Démontrons que $F\not<E$ .
Par hypothèse, on sait que
$\displaystyle\exists(x_1, \cdots ,x_s)\in\prod_{i=1}^sE_i$ tel que $\forall j,\;\displaystyle x_j\not\in\bigcup_{i\not=j}E_i$
Je vais tenter le coup cette fois-ci avec
$a=x_1+\cdots+x_s$ et montrer que cet élément n'est pas dans $F$ .
$a\not\in E_1$ sinon $x_s=y_1-(x_1+\cdots+x_{s-1})\in E_1$ où $y_1\in E_1$
Même raisonnement avec les autres sev.