Sous-groupes de Sylow

[invite68d09dd5]

Bonjour.

Dans une démonstration de l'isomorphie des groupes simples d'ordre 168 mise en ligne par Mark Dickinson, la démonstration de cette proposition (lemme 9) est laissée au lecteur : Soient G un groupe fini , p un nombre premier divisant l'ordre de G, P un p-sous-groupe de Sylow de G, U et W deux sous-groupes normaux (distingués) de P. Si U et W sont conjugués dans G, ils sont conjugués dans $N_{G}(P)$ (normalisateur de P dans G).

Ce n'est pas difficile à prouver si (par exemple) G peut s'écrire $N_{G}(P) N_{G}(U)$ mais je ne trouve pas de solution dans le cas général.

Merci d'avance à qui peut m'aider.

M.
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[invite35452583]

Bonjour,
soit g un élément de G tel que
P et sont deux p-Sylow de (il est clair que ce sont des p-groupes maximaux). Donc il existe un élément h de tel que .
Ainsi k=hg est un élément de tel que .

[GuYem]

Bien joué homotopie, j'ai cherché pendant un moment sans résultat.

Une question : à quoi sert l'hypothèse V et W normaux ?

[invite35452583]

Une question : à quoi sert l'hypothèse V et W normaux ?

P est ainsi un p-Sylow de et de ou autrement vu P et sont deux p-Sylow de donc conjugués dans un groupe plus petit que G.

Bien pratique ce petit lemme, d'ailleurs il s'applique pour des sous-ensembles V et W globalement invariants de P, l'hypothèse V, W groupes n'est d'aucune utilité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Ouille, j'avoue que je ne te suis plus...

Puisque V et W sont normaux, leur normalisateur est bien G tout entier ? Du coup je ne comprends plus bien la démonstration. Je dois faire une erreur quelque part ...

[invite35452583]

Ouille, j'avoue que je ne te suis plus...

Puisque V et W sont normaux, leur normalisateur est bien G tout entier ? Du coup je ne comprends plus bien la démonstration. Je dois faire une erreur quelque part ...

V et W sont normaux dans P. S'ils étaient normaux dans G, soit ils sont égaux et alors le lemme n'a aucun intérêt soit ils ne sont pas conjugués (car invariants par conjugaison interne dans G).
Reprenons la démo :
Hyp : V, W invariants (terme valide même pour des non groupes*) dans P p-Sylow de G.
corollaire de cete hyp : P est inclus dans
Hyp : V et W sont conjugués dans G
corollaire de cete hyp : il existe g dans G tel que
Ce que l'on veut c'est "ramener g dans ".
e moyen utilisé est exhiber h qui tout en laissant invariant W ramène sur P. L'argument utilisé est que P et sont deux p-Sylow de (un par hyp, l'autre car g transporte V sur W et P sur ).
En espérant avoir un peu éclairci la question.

[GuYem]

Bien sur, suis-je bète ! J'avais mal lu l'hypothèse.

Comme quoi, même après en avoir mangé pendant un certain temps de la théorie des groupes, on peut bien se planter. Croire que V et W, normaux dans G, sont conjugués, c'est tout de même une belle bétise ...

[invite68d09dd5]

Merci beaucoup, Homotopie.

Humiliant de ne pas avoir trouvé une démonstration si courte...
M.

[GuYem]

Merci beaucoup, Homotopie.

Humiliant de ne pas avoir trouvé une démonstration si courte...
M.

Humiliant, je n'irais pas jusque là !

[invite35452583]

Humiliant, je n'irais pas jusque là !

Moi, non plus la manipulation des p-sylow n'est pas évidente au début. Il y a plusieurs démos très courtes évidentes une fois écrites mais trouver l'astuce qui fait que c'est facile n'est pas en soi facile.