[Exo:Explications?]Fonctions, limites, dérivées...

[invite57750683]

Bonjour à tous.

Je remerci d'avance tout c'eux qui pourront m'eclairer, ce ne serait-ce qu'un soupçon !

Mon problème viens du fait que je fais un gros blocage coté Fonctions, limites, dérivées et compagnie et que j'aimerai remédier à ce problème. Je suis en Terminale STI et je bloque actuellement sur deux exercices types.

Je ne souhaite bien sur pas de réponse, mais des explications. (précise si c'est un p'tit peu possible , enfin assez pour que je comprenne pour tout type d'exercice)

Voici donc ces deux exercices en question :

1 ----
f defini sur ]-2; + inf[
f(x) = (x² +x - 7) / (x+ 2)

a - determine les rells a , b , c tels que f(x) = ax + b + (c / (x+2)) Je comprend, j'arrive à le faire par méthode de determination !
b - Calculer les limites de f aux bornes de son intervale de definition J'arrive un peu à le refaire mais je ne comprend pas comment !
c - Calculer la derive de f. Etudiez son signe et en deduire le sens de variation de f. Dresser le tableau de
variation de f. J'arrive à calculer la dérivée. Un peu de mal à faire le reste.
d - Montrer que la courbe representative C de f admet la droite delta d'équatio y = x-1 pour asynmptote en +inf.
Etudier la position de C par rapport a Delta.Alors la comprend pas du tout !
e - Montrer que C admet une autre asymptote, D, dont on precisera une equation. De même !
f - Dans le repere orthonormal o, i , j, unité 1cm tracer delta, D et C. Simple à faire des que l'on a precedement !


2 -----
f definie sur ]-inf, 1/2[ par f(x) = (-2x²+7x-1) / (2x-1)
a - derterminer les reels a, b, c tel que f(x) = ax+b+(c/(2x-1)) Je comprend, j'arrive à le faire par méthode de determination !
b - Calculer les limites de f aux bornes de son intervalle de definition J'arrive un peu à le refaire mais je ne comprend pas comment !
c - Calculer la derievee de f. Etudiez son signe et en deduire le sens de variation de f. Dresser le tableau de
variation de f . J'arrive à calculer la dérivée. Un peu de mal à faire le reste.
d - Montrer que la courbe representative de C de f admet la droite delta d'equation y = -x+3 pour asynmptote en -inf. Etudiez la position de C par rapport a Delta. Alors la comprend pas du tout !
e - Montrer que C admet une autre asymptote, D, dont on precisera une equation De même !
f - Dans le repere orthogonal, o, i, j, unité 2cm sur abscice , 1cm sur ordonée ,tracer delta , D et C.

Merci beaucoup d'avance !
A bientôt !
Inno.
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[invitefc60305c]

1) d) tu fais la différence des 2 équations (delta et f(x)), ce qui te donne une nouvelle fonction, d(x) par exemple, puis tu étudies son signe avec un tableau. Je te laisse deviner à quoi correspondent les "-" "+" et "0".

e) regarde ton cours ! c'est soit une asymptote horizontale, verticale ou oblique. Et dans ce genre de fonction, c'est généralement oblique + une autre mais j'ai oublié

voili voilou

[chung]

Question b
Il faut étudier les limites de f(x) en (-2) et +inf.
Tu peux soit partir de f(x), soit partir de la forme de f(x) obtenue à la question 1.
En (-2)
En disant que f(x) = N(x)/D(x) (N = numérateur, D = dénominateur), calcule lim [N(x)] quand x tend vers (-2), fais de même pour D(x). f(x) tendra en (-2) vers le quotient des limites (si la forme n'est pas indéterminée !)
En (+ inf)
Comme f(x) est un quotient de deux polynômes, la limite de f(x) en +inf est celle du quotient des termes de plus haut degré de N(x) et D(x). Donc...

Question c
La dérivée f '(x) est normalement une fonction simple (je l'ai pas calculée!). Tu fais un "tableau de signes" et tu étudies le signe de f '(x) (+,-,annulation).
Tu en déduis les variations de f(x) :
- si f '(x) est positive sur un intervalle A alors f(x) est croissante sur A
- f '(x) négative sur A alors f(x) est décroissante sur A
- f '(x) s'annule en x₀ alors f(x) atteint un extremum pour x₀ (minimum, maximum ou valeur indéfinie si f(x) n'est pas définie en ce point).

Question d
Concrètement on veut montrer que la courbe de f(x) tend "graphiquement" vers la droite d'équation (y = x-1) en +inf. On veut savoir si elle tend "par dessous" ou "par dessus" delta.
Il faut donc que tu étudies lim [f(x)-(x-1)] lorsque x tend vers +inf. Montre dans un premier temps que cette limite vaut 0.
Ensuite, on veut savoir si cette limite est 0⁺ (càd tend vers 0 par valeurs positives) ou 0^- (... valeurs négatives).
Si lim = 0⁺ alors la courbe sera au-dessus de delta. Inversement pour 0^-.

Question e
Regarde la limite de f(x) en +inf comme étudié en question b. Ca saute pas aux yeux ?

Question f
Un p'tit truc : construis la courbe au fur et à mesure de l'exercice, ça te permet de vérifier que tu ne fais pas d'erreurs.

[invite57750683]

Merci beaucoup à vous deux je pense que je me dirige dans le bon chemin !

Vous allez p'tete croire que je suis très stupide (peut-être que c'est vrai :P) mais je comprend vraiment pas la question b. sur les limites ! :-S
La question c. est maintenant clair et je te remerci j'ai enfin compris !
La question d. et e. heu je crois que j'ai besoin de la b. ? lim [f(x)-(x-1)] ???? :-S

Encore merci !
(Au passage : Bonne Année ! )

[A voir en vidéo sur Futura]

[chung]

Mais non t'es pas stupide !

Question b.
Calcule lim (x² + x - 7) quand x tend vers (-2).
Calcule lim (x+ 2) quand x tens verd (-2).
Donc le quotient tend vers... ?

En +inf la règle est que pour un quotient de polynômes, la fonction entière f(x) tendra vers la limite du rapport des termes de plus haut degré.
Le terme de plus haut degré du dénominateur est x².
Celui du dénominateur est x.
Donc lim [f(x)] en +inf = lim (x²/x) en +inf = ... !!

Question d avec les asymptotes en +inf.
Réarrange l'expression f(x)-(x-1) et simplifie-là !
Calcule ensuite la limite de ce que tu obtiens, lorsque x tend vers +inf.
Si c'est un quotient de polynômes, applique la règle précédente.
Tu dois trouver que cette limite vaut 0.

[invitefc60305c]

Euh pour les limites, on fait avec +inf ; -inf ; -2- et -2+.

[chung]

Certes f est définie sur ]-∞, -2[ U ]-2, +∞[, en toute logique il faudrait aussi étudier les limites en -∞ et en -2^-.
Comme on se restreint à ]-2, +∞[...