loi binomiale

[philppi]

Bonjour, j ai ce problème :

Dans une population masculine, il existe 46% de fumeurs. On tire au sort un échantillon de n sujet(s) dans cette population.

1.1 Quelle est la loi suivie par la variable X comptant le nombre de fumeurs dans une population si n = 10 ? si n = 100 ?

1-2 Donner dans les deux cas, la probabilité de trouver moins de 30% de fumeurs dans l’échantillon.



pour le 1.1: il s agit de la loi binomiale avec p=0,46, k=(nombre de fumeurs trouvés sur l échantillon) (q=1-p)

p(X=k) = (nombre de combinaisons de k parmi n) x p(puissance k) x q(puissance n-k)

est ce que c est juste svp ?

on remplace ensuite n par 10 puis n par 100.


1.2 si n =10, 30%(10)= 3, donc k=3
si n =100 30%/100)=30, donc k=30

au moins 30% de fumeurs, c est P(X tel que X<3) ? faut il utiliser une loi normale ?

je ne vois pas bien si quelqu un a une idée, merci d avance de m aider


je ne suis pas un specialiste des stats, mais je suis sympa

philppi
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[gg0]

Bonjour.

Pour la première question, pas de problème. En supposant que la population est très importante, sinon la bonne loi est la loi hypergéométrique.

pour la deuxième, il y a deux interprétations possibles du "moins de". je vais prendre celle du français courant : "strictement moins"
Pour n= 10, P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
C'est facile de faire le calcul, avec une simple calculette 4 opérations.
Pour n=100, P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=2 9)
On peut le faire facilement avec une calculette scientifique ou un tableur. On peut aussi faire l'approximation par une loi Normale.

Bon travail !

NB : Je n'ai fait que rappeler des évidences, qui l'auraient été pour toi si tu avais eu confiance en tes capacités (plus grandes que tu ne crois).

[philppi]

merci beaucoup pour les infos et le réconfort...


1/bon ceci dit, j ai pour n=10 je trouve p(0)+p(1)+p(2)=0,0042, donc c est la probabilité pour trouver moins de 30% de fumeurs sur un échantillon de 10 personnes

ca me parait faible je vais refaire sur excel pour vérifier

2/ pour n=100, en approchant par une loi normale de moyenne np=46 et d écart-type =racine (46 x 0,54)=4,98

je trouve en approchant une loi centrée réduite avec T=(X-46)/4,98

p(X< 30 )= 0,00066

ces résultats me paraissent faibles ..... peut être as tu une idée sur l explication, c est bizarre ca me rappelle les tests de maladie ...


merci de ton aide "ggo trouvetout" (relire les Mickey des années 60 pour comprendre)

philppi

[gg0]

Pour n=10, je trouve 0,0889. C'est faible, mais à priori, on s'attend plutôt à trouver 4 ou 5 fumeurs que 1 ou 2.
Pour n=100, mon tableur donne 0,000378, ce qui est très faible, mais là aussi, comme la moyenne est 46, on est très loin de la moyenne, dans les cas rares.
Pour l'approximation par une loi Normale, et avec la "correction de continuité" (donc P(X)<29,5) je trouve 0,00047. T étant -3,31, en menant les calculs plus précisément.
Tu remarqueras que même si on obtient une valeur proche, l'erreur relative est importante (25%). C'est que l'approximation de la loi binomiale par une loi Normale n'est valide qu'au voisinage de la moyenne.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[philppi]

merci beaucoup,

je trouve EXACTEMENT aprés calcul sous EXCEL , les mêmes valeurs que toi, pour l approche par la loi normale, je trouve en ayant fait le calcul 2 fois, 0,00066 avec T=-3,21 chez moi.

on ne va pas chipoter....

par contre, j ai fait des exos où je dois calculer des probabilités,pour des valeurs non tabulées, mais trop grande , par exemple 5.

ma table de la loi normale s arrête à 4, dois je prendre la même valeur pour PI(5) que celle donnée pour PI(4) qui est 0,99997.

merci encore

une autre question importante, je cherche une doc sur le net qui résume les tests statistiques de manière claire et concise...Connais tu quelque chose ?

[gg0]

On ne va pas chipoter, non !

D'ailleurs, pour la loi Normale centrée réduite, les probabilité au delà de 4 sont considérées comme quasi nulles, sauf besoin de grande précision (et donc pas l'usage d'une approximation gaussienne, mais le fait que la loi est directement la loi de Gauss).

Pour les tests statistiques, il ne faut pas rêver : Il y a bien trop de diversité pour avoir ça en un seul document. Le Saporta (*) traite les principaux en 46 pages ! Mais j'aime bien ce cours :http://rfv.insa-lyon.fr/~jolion/PS/poly_stat.pdf

Cordialement.

(*) probabilités, analyse de données et statistiques.

[philppi]

Merci beaucoup

@ +