Ces bijections existent-t-elles??

[shlagable]

Bonjour,
Pouvez-vous m'aider, s'il vous plait, il ne s'agit pas réellement d'un exercice, mais plutot de questions que je me suis posé à moi même (ou qu'on m'a aidé à me poser...)
Je sais déja que Q et R ne sont pas du tout en bijection, et même que ce qui se passe entre les deux est assez flou, puisque indépendant des axiomes de la théorie dans laquelle on se place et que du coup il est nécessaire de rajouter un axiome pour dire si oui ou non il existe un ensemble de cardinal intermédiaire, si on souhaite l'utiliser.
Je sais également qu'il existe une bijection entre R et R² ou plus généralement entre R et Rⁿ (elles ne sont pas continues, mais elles existent).
Les questions que je me pose sont les suivantes:
- existe-t-il une bijection entre R et R^N?? (la je ne pense pas, intuitivement ca me semble pas vraiment possible)
- existe-t-il une bijection entre R^N et R^Q, sachant que R et Q sont en bijection?? (la il me semble que ca devrait marcher, et il est facile de construire une injection de R^N dans R^Q à partir d'une bijection de N dans Q, mais je me suis arrêté la)
- existe-t-il une bijection entre R^Q et C(R,R)?? (la encore, ca devrait marcher et on a sans grande difficulté une injection de C(R,R) dans R^Q, mais la il s'agirait de montrer que toute fonction de Q dans R se prolonge en une fonction continue de R dans R et ca je suis pas sur du tout que ca soit vrai...)
- existe-t-il une bijection entre R^R et R^Q?? (la ca me semble un peu gros quand même je crois pas que ca soit possible, surtout si la bijection précédente existe...)
Voila, j'espere que certains d'entre vous auront des réponses à ces questions existentielles
Merci d'avance
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[Médiat]

Bonjour,

En sachant que et , il reste à faire un peu d'arithmétique transfinie, par exemple :

, il existe donc bien des bijections entre et , autrement dit, on peut coder chaques suites réelles à l'aide d'un seul réel.

[shlagable]

Ah, c'est très interressant ca, parce que pas vraiment intuitif je trouve, est-ce qu'il existe de telles bijections explicites, ou on ne connait que leur existence théorique?
Apres, je ne connais pas du tout l'arithmétique transfinie, et je pense ne pas avoir vraiment le niveau pour m'y mettre (en tout cas pas pour cumuler cela avec les cours de maths que j'ai déjà)
Pouvez-vous me dire si les autres ensembles que j'ai cité précédemment sont ou non en bijection, car il me semble que si R et les fonctions continues de R dans R sont en bijection, c'est quand même un résultat assez spectaculaire, dire qu'il suffit d'une unique valeur pour caractériser une fonction continue, on a l'impression de faire de sacrées économies (théoriques, bien sur)
Merci en tout cas pour cette réponse surprenante

[Médiat]

existe-t-il une bijection entre R^N et R^Q

Oui, les cardinaux sont identiques

existe-t-il une bijection entre R^Q et C(R,R)??

Une fonction continue de dans est entièrement définie par sa restriction de dans , il y a donc moins de fonctions continues de dans que de fonctions de dans , c'est à dire , et comme il est facile de montrer que (ne serait-ce que les fonctions constantes), on en déduit que .

existe-t-il une bijection entre R^R et R^Q??

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss]

Je pense que c'est assez facile de construire une injection de [0,1[^N* dans R.

On prend par exemple une des écritures en base 2 des nombres de la suite, en notant la j-ème décimale du i-ème nombre et on construit le nombre suivant :



Et on a alors la k-ième décimale du n-ième nombre qui est :

si , la décimale de A

si , la décimale de A

Ainsi on a encodé la suite de réels dans un seul réel

[shlagable]

Merci beaucoup pour ces réponses rapides

[Médiat]

Je pense que c'est assez facile de construire une injection de [0,1[^N* dans R.

Oui, mais je trouve votre solution déroutante,car le même chiffre apparaît plusieurs fois.

Il suffit de choisir une bijection f de IN dans IN² (et on en connaît plusieurs explicitement), on pose la j-ème décimale du i-ème nombre d'une suite, comme vous (on ne prend en compte que les développements propres), et on construit le nombre A dont la k-ième décimale est notée en posant .

[Tryss]

Oui, mais je trouve votre solution déroutante,car le même chiffre apparaît plusieurs fois.

Et même une infinité de fois

On peut éviter de répéter les décimales déjà données (on a alors un A de la forme que tu propose), mais j'ai donné la première construction explicite qui m'est passé par la tête (donc probablement pas la plus élégante ).

Par exemple la j-ème décimale du i-ème nombre (on commence à compter à 0) en position :