Irrationnel

[ABreton]

Bonsoir, je bloque à une premiere question d'un exercice.
J'ai x0=a où a est un irrationnel positif.
x(n+1) = 1 / ( x(n) - E(x(n)) )

Je dois montrer que pour tout n > 0, x(n) est un irrationnel supérieur à 1.

J'aimerais bien savoir si il y a une façon d'écrire un irrationnel ? Même si je pense que non..

Sinon pour montrer que c'est supérieur à 1:
x(n) = E(x(n)) + r avec r appartenant a [0,1[

Donc x(n) - r = E(x(n))

Donc x(n+1) = 1 / r qui est évidemment supérieur à 1

Mais pour montrer que c'est un irrationnel je ne sais pas vraiment comment faire, je n'ai pas bien l'habitude de les utiliser.

Merci
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[XMike_]

Bonsoir,
Tu peux peut-être le montrer par absurde.

[ABreton]

Est-ce que la somme d'un irrationnel et d'un rationnel est toujours un irrationnel ?

Si oui, par l'absurde je l'ai. Merci.

[DSCH]

En effet, la somme (de même que le produit, etc.) de deux rationnels est un rationnel. Par contraposée, si en ajoutant un certain nombre à un rationnel, tu obtiens une somme irrationnelle, le nombre ajouté ne peut pas être rationnel.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ericcc]

Pas besoin de passer par un raisonnement par l'absurde : la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un nombre irrationnel (cf argument de DSCH). L'inverse d'un irrationnel est également irrationnel (même type de raisonnement)
ergo....

[breukin]

Oui, mais à la base, les assertions relatives à la somme, le produit, le quotient d'un rationnel et d'un irrationnel ne se démontrent-elles pas par l'absurde ? (en supposant que si le résultat était rationnel, alors en fait, le prétendu irrationnel ne le serait pas)

[ericcc]

C'est une bonne question, qu'il faudrait adresser à Mediat je pense : existe-t-il une méthode constructiviste ou intuitionniste pour démontrer ces propositions ?

[ansset]

je pense que celà peut se montrer en montrant que le produit , la somme etc , ne peut pas être solution d'un polynome de degré N pour tout N

[gg0]

Bonjour.

La différence de deux rationnels est un rationnel, donc :

par contraposition :


Cordialement.

Nb : beaucoup de "preuves par l'absurde" ne sont que des contrapositions.

[DSCH]

Il ne faut pas confondre un vrai raisonnement par l’absurde avec un simple raisonnement par contraposition…

Ajout : message croisé avec celui de gg0.

[ericcc]

La contraposition n'est pas acceptée dans la logique constructive : http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_constructive

[gg0]

Je ne m'étais pas placé dans une perspective constructiviste. D'autant qu'alors il n'est pas évident qu'un non irrationnel est rationnel.

Cordialement.