V2 + V3 irrationnel

**Guillaume.B** · 18/09/2007, 20h52

Bonjour,

Voilà j'ai résolu un exercice et je vous demande de me corriger si cela ne vous dérange pas, et si possible, de me donner une solution alternative (même si la mienne est correcte ?).

Démontrer que $\text{[math]}$ est irrationnel.

On suppose $\text{[math]}$ racine d'un polynôme à coefficients entiers que l'on va déterminer (dans le cas général) :

Soient a et b deux entiers naturels non carrés parfaits vérifiant $\text{[math]}$ et étant racine d'un polynôme à coefficients entiers. On a :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Réciproquement, on vérifit que $\text{[math]}$ convient. Ainsi, $\text{[math]}$ est racine de $\text{[math]}$ . Or, si $\text{[math]}$ est racine d'un polynôme à coefficients entiers, alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Supposons alors par l'absurde $\text{[math]}$ rationnel. Il existe donc deux entiers premiers entre eux vérifiant :

$\text{[math]}$ .

Ainsi, p | 1 et q | 1, puisque $\text{[math]}$ est racine de $\text{[math]}$ .

D'où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et puisque $\text{[math]}$ alors on doit avoir :

$\text{[math]}$

On vérifit que cette égalité aboutit à une contradiction D'où $\text{[math]}$ irrationnel.

invitec053041c · 18/09/2007, 21h00

Bonjour.

Euh tu te compliques un peu trop la vie il me semble.
Si tu sais que sqrt(3) et sqrt(2) sont irrationnels (ça se montre aisément, mais je pense que c'est un acquis de l'exercice), alors si:

$\text{[math]}$

En mettant tout au carré, tout ce qui est en sqrt(2) disparaît, et il ne reste que du sqrt(3) à droite, entouré de rationnels.
Donc sqrt(3) serait rationnel.

Cordialement.

**Guillaume.B** · 18/09/2007, 21h04

Ah oué, j'y avais pas pensé :honte:

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